Упражнение 775 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\[x^2 + bx + c = 0\]

\(x_1 = b\), \(x_2 = c\)

По теореме Виета:

\( x_1 + x_2 = -b, \quad x_1 x_2 = c \)

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} b+c= -b,\\ bc = c \end{cases} \)

\( \begin{cases} c=-b -b,\\ bc - c = 0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} c=-2b,\\ c(b - 1) = 0 \end{cases} \)

\(c = 0\) - не удовлетворяет условию \(c\neq0\)

 или \(b - 1=0\) 

        \(b = 1\)

\(c = -2\cdot1 = -2\)

Ответ: \(b = 1\), \(c = -2\).

Пояснения:

Так как корни уравнения совпадают с коэффициентами \(b\) и \(c\), мы использовали теорему Виета: \[ x_1 + x_2 = -b, \quad x_1 x_2 = c. \]

Подставив \(x_1 = b, x_2 = c\), получили систему:

\( \begin{cases} b+c= -b,\\ bc = c \end{cases} \)

Решив систему, получили

\(b = 1, c = -2\), при этом учли условие \(c \neq 0\) и исключили лишний корень

\(\alpha\) и \(\beta\) — углы треугольника.

\(58^\circ \leq \alpha \leq 59^\circ\),

\(102^\circ \leq \beta \leq 103^\circ\).

Пусть третий угол треугольника равен \(x^\circ\).

\(\alpha + \beta + x = 180^\circ\)

\(x = 180^\circ - (\alpha + \beta)\)

\(58^\circ + 102^\circ \leq \alpha + \beta \leq 59^\circ + 103^\circ\)

\(160^\circ \leq \alpha + \beta \leq 162^\circ\)

\(-162^\circ \leq -(\alpha + \beta) \leq -160^\circ\)

\(180^\circ -162^\circ \leq 180^\circ -(\alpha + \beta) \leq 180^\circ -160^\circ\)

\(18^\circ \leq x \leq 20^\circ.\)

Ответ: величина третьего угла треугольника \(18^\circ \leq x \leq 20^\circ.\)

Пояснения:

В любом треугольнике сумма углов равна \(180^\circ\).

Чтобы найти границы для третьего угла, нужно сначала оценить сумму углов \(\alpha\) и \(\beta\), а затем оценить разность \(180^\circ\) и суммы углов \(\alpha\) и \(\beta\).

При оценке значений используем то, что:

- если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство;

- если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.