Упражнение 571 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть \(x\) - число участников турнира, тогда каждый участник сыграл \((x-1)\) партию.

Составим уравнение:

\(\frac{x(x-1)}{2}=45\)    \(/\times2\)

\( x(x-1)=90 \)

\(x^2-x-90=0\)

\(a=1\), \(b=-1\), \(c=-90\).

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-1)^2 - 4\cdot1\cdot(-90) =\)

\(=1+360=361\);    \(\sqrt D=19\).

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1)+19}{2}=\)

\(=\frac{20}{2}=10\).

\(x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1)-19}{2}=\)

\(=\frac{-18}{2}=-9\) - не удовлетворяет условию \((x>0)\).

Ответ: \(10\) участников.

Пояснения:

Пусть \(x\) - число участников турнира, тогда каждый участник сыграл \((x-1)\) партию. Значит, общее число партий равно числу пар участников:

\(\frac{x(x-1)}{2}=45\).

Обе части уравнения домножили на \(2\), раскрыли скобки, слагаемое из правой части уравнения перенесли в левую со сменой знака, получили полное квадратное уравнение:

\(x^2-x-90=0\).

Через дискриминант решили полученное уравнение и нашли два корня. Отрицательный корень не подходит, так как количество участников может быть только натуральным числом. Положительный корень и есть искомое число участников турнира.

\(p=\dfrac{n(n-3)}{2}\),

где \(p\) - число диагоналей выпуклого многоугольника, \(n\) — число сторон.

Пусть выпуклом многоугольнике \(n\) сторон, тогда число диагоналей

\(p=n + 25\).

Составим уравнение:

\( n+25=\frac{n(n-3)}{2} \)    \(/\times2\)

\( 2(n+25)=n(n-3) \)

\(2n + 50 = n^2 -3n\)

\(2n + 50 - n^2 +3n = 0\)

\(-n^2 + 5n + 50 = 0\)    \(/\times(-1)\)

\( n^2-5n-50=0 \)

\(a=1\), \(b=-5\), \(c=-50\).

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-5)^2 - 4\cdot1\cdot(-50)=\)

\(=25+200=225\);    \(\sqrt D=15\).

\(n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5)+15}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{20}{2}=10\).

\(n_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5)-15}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{-10}{2}=5\) - не удовлетворяет условию \((n>0\)\).

Ответ: в десятиугольнике.

Пояснения:

Ввели обозначения. Учитывая формулу вычисления количества диагоналей, составили уравнение:

\( n+25=\frac{n(n-3)}{2} \).

Обе части уравнения домножили на \(2\), раскрыли скобки, все слагаемые из правой части уравнения перенесли в левую со сменой знаков, привели подобные, домножили обе части уравнения на \(-1\), получили полное квадратное уравнение:

\( n^2-5n-50=0 \)

Через дискриминант решили полученное уравнение и нашли два корня. Отрицательный корень не подходит, так как количество сторон может быть только натуральным числом. Положительный корень, равный \(10\), говорит о том, что диагоналей на \(25\) больше, чем сторон, в выпуклом десятиугольнике.