Упражнение 555 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((\sqrt{21}+\sqrt{14}-2\sqrt{35})\cdot\frac{\sqrt{7}}{7}+\sqrt{20}=\)

\(=(\sqrt{7}\cdot\sqrt{3}+\sqrt{7}\sqrt{2}-2\sqrt{7}\sqrt{5})\cdot\frac{\sqrt{7}}{7}+\sqrt{4\cdot5}=\)

\(=\frac{\sqrt{7}}{7}\cdot\sqrt{7}\cdot(\sqrt{3}+\sqrt{2}-2\sqrt{5})+2\sqrt{5}=\)

\(=\frac{7}{7}(\sqrt{3}+\sqrt{2}-2\sqrt{5})+2\sqrt{5}=\)

\(=\sqrt{3}+\sqrt{2}-\cancel{2\sqrt{5}}+\cancel{2\sqrt{5}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}\).

б) \((\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{15})(\sqrt{5}-\sqrt{3})+\sqrt{75}=\)

\(=5 - \cancel{\sqrt{15}} +\cancel{\sqrt{15}}-3-\cancel{\sqrt{75}} +\sqrt{45}+\cancel{\sqrt{75}}=\)

\(=2 + \sqrt{45} = 2 +\sqrt{9\cdot5} = 2 + 3\sqrt{5}\).

Пояснения:

Использованные правила:

- Свойства корня:

\(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\);

\(\sqrt a\cdot \sqrt a = a\).

- Извлечение множителя из-под корня:

\(\sqrt{k^2m}=k\sqrt{m}\).

- Вынесение общего множителя за скобки:

\(ax + bx = (a+b)x\).

- Распределительное свойство умножения:

\((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\).

Пункт а):

Сначала, используя свойства коня, разложили на множители слагаемые в скобках, затем вынесли общий множитель за скобки и привели подобные.

Пункт б):

Сначала, используя распределительное свойство умножения раскрыли скобки, затем привели подобные и, используя свойства корня, преобразовали выражение.

\(x^2 - ax + a - 4 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = a\),   \(c = a - 4\).

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=a^2 - 4\cdot1\cdot(a-4) =\)

\(=a^2 - 4a + 16 = \)

\(=a^2 - 4a + 4 + 12 = \)

\(=(a-2)^2 + 12 > 0\) при любом \(a\), значит, уравнение имеет два корня.

Ответ: а) не существует;

б) не существует;

в) существует.

Пояснения:

Количество корней полного квадратного уравнения

\(ax^2 + bx + c = 0\) зависит от дискриминанта.

Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.