Упражнение 525 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть через \(x\) ч между туристами будет 16 км. Тогда первая группа пройдет \(4x\) км на север, а вторая — \( 5x\) км на запад.

По теореме Пифагора составим уравнение:

\((4x)^2 + (5x)^2 = 16^2 \)

\(16x^2 +25x^2=256\)

\(41x^2 = 256\)

\(x^2 = \frac{256}{41}\)

\(x_1 = -\sqrt{\frac{256}{41}}\) - не удовлетворяет условию.

\(x_2 = \sqrt{\frac{256}{41}}\)

\(x_2 \approx \sqrt{6,24}\)

\(x_2 \approx 2,5\)

Ответ: через 2,5 ч расстояние между туристами окажется равным 16 км

Пояснения:

– Вводим переменную \(x\) для времени движения.

– Составляем выражения для пройденных расстояний: \(4x\) и \(5x\).

– Применяем теорему Пифагора для нахождения расстояния между туристами.

Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

– Решаем полученное уравнение \(x\sqrt{41}=16\) и выбираем положительное значение, так как время не может быть отрицательным числом.

При преобразовании уравнения использовали свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).

Пусть \(x\) м - ширина корта. Тогда длина равна \(2x\). Площадь корта 800 м².

Составим уравнение:

\( x \cdot 2x = 800 \)

\(2x^2 = 800 \)

\(x^2 = \frac{800}{2} \)

\(x^2 = 400 \)

\(x_1 = -\sqrt{400} \)

\(x_1 = -20 \)  - не удовлетворяет условию задачи.

\(x_2 = \sqrt{400} \)

\(x = 20 \)

1) \(20\) (м) - ширина корта.

2) \(20 \cdot2 = 40\) (м) - длина корта.

Ответ: 20 м и 40 м.

Пояснения:

– Ввели обозначения: \(x\) - ширина корта, \(2x\) - длина корта.

– Площадь прямоугольника вычисляется как произведение длины на ширину.

– Учитывая то, что корт имеет форму прямоугольника и по условию его площадь 800 м², получили неполное квадратное уравнение:

\(2x^2 = 800 \)

– Решили его: разделили на 2, извлекли корень и выбрали положительное значение, так как длина и ширина корта должны быть положительны.