Упражнение 506 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\Bigl(\frac{1}{x+x\sqrt{y}} +\frac{1}{x-x\sqrt{y}} \Bigr)\cdot\frac{y-1}{2}=-\frac{1}{x}\)

1) \(\frac{1}{x+x\sqrt{y}} +\frac{1}{x-x\sqrt{y}}=\)

\(=\frac{1}{x(1+\sqrt{y})} ^{\color{blue}{\backslash{1-\sqrt{y}}}} +\frac{1}{x(1-\sqrt{y})} ^{\color{blue}{\backslash{1+\sqrt{y}}}} =\)

\(=\frac{(1-\sqrt y)+(1+\sqrt y)}{x(1+\sqrt y)(1-\sqrt y)} =\)

\(=\frac{1-\cancel{\sqrt y}+1+\cancel{\sqrt y}}{x(1^2-(\sqrt y)^2)}=\frac{2}{x(1-y)}. \)

2) \( \frac{2}{x(1-y)}\cdot\frac{y-1}{2} =\)

\(=\frac{\cancel2\cancel{(y-1)}}{-x\cancel{(y-1)}\cdot\cancel2}=-\frac{1}{x}. \)

б)\(\displaystyle\Bigl(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\Bigr)\cdot\frac{(b-a)^2}{2}=\sqrt{ab}\,(a-b)\)

1) \( \frac{\sqrt a}{\sqrt a-\sqrt b} ^{\color{blue}{\backslash{\sqrt a+\sqrt b}}} -\frac{\sqrt a}{\sqrt a+\sqrt b} ^{\color{blue}{\backslash{\sqrt a-\sqrt b}}} =\)

\(=\frac{\sqrt a(\sqrt a+\sqrt b)-\sqrt a(\sqrt a-\sqrt b)}{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)} =\)

\(=\frac{\cancel a+\sqrt {ab}-\cancel a+\sqrt {ab}}{(\sqrt a)^2-(\sqrt b)^2} =\frac{2\sqrt{ab}}{a-b}. \)

2) \( \frac{2\sqrt{ab}}{a-b}\cdot\frac{(b-a)^2}{2} =\)

\(=\frac{\cancel{2}\sqrt{ab}\,(a-b)^{\cancel2}}{\cancel{(a-b)}\cdot\cancel2} =\sqrt{ab}\,(a-b). \)

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

1. Сумма дробей:

\(\frac1{a}+\frac1{b}=\frac{b+a}{ab}\).

2. Разность дробей:

\(\frac1a-\frac1b=\frac{b-a}{ab}\).

3. Разность квадратов:

\((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).

4. Свойства корня:

\((\sqrt a)^2 = a\);

\(\sqrt a\cdot\sqrt b = \sqrt {ab}\).

5. Распределительное свойство умножения:

\(a(b + c) = ab + ac\).

6. Противоположные выражения:

\(a - b = -(b - a)\);

\((a-b)^2 = (b-a)^2\).

7. Сокращение дробей:

\(\frac{ka}{kb} = \frac ab\).

а) \( \frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}} =\)

\(=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{y})} =\)

\(=\frac{(\sqrt{x})^2-(\sqrt{y})^2}{x+\sqrt{xy}} =\)

\(=\frac{x - y}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}. \)

б) \( \frac{a+\sqrt{b}}{a\sqrt{b}} =\)

\(=\frac{(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})}{a\sqrt{b}(a-\sqrt{b})} =\)

\(=\frac{a^2-(\sqrt{b})^2}{a^2\sqrt{b}-ab} =\frac{a^2 - b}{a^2\sqrt{b}-ab}. \)

в) \( \frac{7-\sqrt{a}}{49 - 7\sqrt{a} + a} =\)

\(=\frac{(7-\sqrt{a})(7+\sqrt{a})}{(49 - 7\sqrt{a} + a)(7+\sqrt{a})} =\)

\(=\frac{7^2-(\sqrt{a})^2}{7^3+(\sqrt{a})^3} =\frac{49 - a}{343+a\sqrt{a}} \)

г) \( \frac{\sqrt{mn}+1}{mn + \sqrt{mn} + 1}=\)

\(=\frac{(\sqrt{mn}+1)(\sqrt{mn}-1)}{(mn + \sqrt{mn} + 1)(\sqrt{mn}-1)} =\)

\(=\frac{(\sqrt{mn})^2-1^2}{(\sqrt{mn})^3-1^3} =\)

\(=\frac{mn - 1}{mn\sqrt{mn}-1}. \)

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

1. Чтобы избавиться от иррациональности (корней) в числителе, умножают числитель и знаменатель на такое выражение, которое вместе с выражением, стоящим в числителе, образует разность квадратов:

\((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\);

\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\).

2. Сумма и разность кубов двух выражений:

\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\);

\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\).

3. Свойства корня:

\(\sqrt{ab} = \sqrt{a}{b}\);

\((\sqrt{x})^2 = x\);

\(k\sqrt{k}=(\sqrt{k})^3\).

4. Свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).