Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№431 учебника 2023-2025 (стр. 102):
Докажите, что числа \(2 - \sqrt{3}\) и \(2 + \sqrt{3}\) являются взаимно обратными, а числа \(2\sqrt{6} - 5\) и \(\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{6} + 5}\) — противоположными.
№431 учебника 2013-2022 (стр. 103):
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а) \(\displaystyle \frac{x}{\sqrt{5}}\);
б) \(\displaystyle \frac{3}{\sqrt{b}}\);
в) \(\displaystyle \frac{2}{7\sqrt{y}}\);
г) \(\displaystyle \frac{a}{b\sqrt{b}}\);
д) \(\displaystyle \frac{4}{\sqrt{a+b}}\);
е) \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a-b}}\);
ж) \(\displaystyle \frac{5}{2\sqrt{3}}\);
з) \(\displaystyle \frac{8}{3\sqrt{2}}\);
и) \(\displaystyle \frac{3\sqrt{5}}{5\sqrt{2}}\).
№431 учебника 2023-2025 (стр. 102):
Вспомните:
№431 учебника 2013-2022 (стр. 103):
Вспомните:
№431 учебника 2023-2025 (стр. 102):
1) \( (2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) =\)
\(=2^2 - (\sqrt{3})^2 =4 - 3 = 1. \)
Числа \(2 - \sqrt{3}\) и \(2 + \sqrt{3}\) являются взаимно обратными.
2) \((2\sqrt{6} - 5) ^{\color{blue}{\backslash{2\sqrt{6} + 5}}} + \frac{1}{2\sqrt{6} + 5}=\)
\(=\frac{(2\sqrt{6} - 5)(2\sqrt{6} + 5)+1}{2\sqrt{6} + 5}=\)
\(=\frac{(2\sqrt{6})^2 - 5^2+1}{2\sqrt{6} + 5}=\)
\(=\frac{4\cdot6 - 25+1}{2\sqrt{6} + 5}=\)
\(=\frac{24 - 25+1}{2\sqrt{6} + 5}=\frac{0}{2\sqrt{6} + 5} = 0\)
Числа \(2\sqrt{6} - 5\) и \(\frac{1}{2\sqrt{6} + 5}\) являются противоположные.
Пояснения:
Использованные приёмы и формулы:
— Разность квадратов:
\((a - b)(a + b) = a^2 - b^2.\)
— Свойство корня:
\((\sqrt{x})^2 = x\).
— Свойство степени:
\((ab)^n = a^nb^n\).
— Если числа \(x\) и \(y\) взаимно обратные, то их произведение равно единице:
\(xy = 1\).
— Если числа \(x\) и \(y\) противоположные, то их сумма равна нулю:
\(x + y= 0\).
№431 учебника 2013-2022 (стр. 103):
а) \(\frac{x}{\sqrt{5}}=\frac{x\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}= \frac{x\sqrt{5}}{5}.\)
б) \( \frac{3}{\sqrt{b}}=\frac{3\cdot\sqrt{b}}{\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}}= \frac{3\sqrt{b}}{b}.\)
в) \(\frac{2}{7\sqrt{y}}= \frac{2\cdot\sqrt{y}}{7\sqrt{y}\cdot\sqrt{y}}= \frac{2\sqrt{y}}{7y}.\)
г) \(\frac{a}{b\sqrt{b}}= \frac{a\cdot\sqrt{b}}{b\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b\cdot b}=\)
\(=\frac{a\sqrt{b}}{b^2}.\)
д) \(\frac{4}{\sqrt{a+b}}= \frac{4\cdot\sqrt{a+b}}{\sqrt{a+b}\cdot\sqrt{a+b}} =\)
\(=\frac{4\sqrt{a+b}}{a+b}.\)
е) \(\frac{1}{\sqrt{a-b}}= \frac{1\cdot\sqrt{a-b}}{\sqrt{a-b}\cdot\sqrt{a-b}} =\)
\(=\frac{\sqrt{a-b}}{a-b}.\)
ж) \(\frac{5}{2\sqrt{3}}= \frac{5\cdot\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{5\cdot\sqrt{3}}{2\cdot3}=\)
\(=\frac{5\sqrt{3}}{6}.\)
з) \(\frac{8}{3\sqrt{2}}= \frac{8\cdot\sqrt{2}}{3\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{^4\cancel{8}\sqrt{2}}{3\cdot\cancel{2}_1} =\)
\(=\frac{4\sqrt{2}}{3}.\)
и) \(\frac{3\sqrt{5}}{5\sqrt{2}}= \frac{3\sqrt{5}\cdot\sqrt{2}}{5\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{10}}{5\cdot2}=\)
\(=\frac{3\sqrt{10}}{10}.\)
Пояснения:
Основное правило избавления от иррациональности в знаменателе дроби:
Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножают числитель и знаменатель на подходящий корень, тем самым в знаменателе получается произведение корня на себя, равное подкоренному выражению.
Свойства корня:
\(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = x\);
\(\sqrt{a}\cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}\).
Вернуться к содержанию учебника