Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№430 учебника 2023-2025 (стр. 102):
Докажите, что:
а) \(\displaystyle \sqrt{\frac{3}{5}} = 0,2\sqrt{15};\)
б) \(\displaystyle \sqrt{\frac{2}{a}} = \frac{1}{a}\sqrt{2a}.\)
№430 учебника 2013-2022 (стр. 103):
Сократите дробь:
а) \(\displaystyle \frac{x^2 - 2}{x + \sqrt{2}}\);
б) \(\displaystyle \frac{\sqrt{5} - a}{5 - a^2}\);
в) \(\displaystyle \frac{\sqrt{x} - 5}{25 - x}\);
г) \(\displaystyle \frac{\sqrt{2} + 2}{\sqrt{2}}\);
д) \(\displaystyle \frac{5 + \sqrt{10}}{\sqrt{10}}\);
е) \(\displaystyle \frac{2\sqrt{3} - 3}{5\sqrt{3}}\).
№430 учебника 2023-2025 (стр. 102):
Вспомните:
№430 учебника 2013-2022 (стр. 103):
Вспомните:
№430 учебника 2023-2025 (стр. 102):
а) \(\sqrt{\frac{3}{5}} = 0,2\sqrt{15};\)
\( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} =0,2\sqrt{15}\)
\(\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} =0,2\sqrt{15}\)
\(\frac{\sqrt{15}}{5} = 0,2\sqrt{15}\)
\(\frac{1}{5}\sqrt{15} = 0,2\sqrt{15} \)
\(0,2\sqrt{15} = 0,2\sqrt{15}\)
Что и требовалось доказать.
б) \(\displaystyle \sqrt{\frac{2}{a}} = \frac{1}{a}\sqrt{2a}\)
\(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{a}} =\frac{1}{a}\sqrt{2a}\)
\(\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{a}}{\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}} =\frac{1}{a}\sqrt{2a}\)
\(\frac{\sqrt{2a}}{a} = \frac{1}{a}\,\sqrt{2a} \)
\( \frac{1}{a}\,\sqrt{2a} = \frac{1}{a}\,\sqrt{2a}\)
Что и требовалось доказать.
Пояснения:
Использованные правила:
1. Свойство корня из дроби:
\(\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.\)
2. В левой части каждого равенства избавились от иррациональности в знаменателе, для этого домножили дроби на такой корень, чтобы в знаменателе получилось произведение корня на себя, равное подкоренному выражению.
3. Свойство произведения одинаковых корней:
\(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = x\).
4. Свойство произведения корней:
\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}.\)
№430 учебника 2013-2022 (стр. 103):
а) \(\frac{x^2 - 2}{x + \sqrt{2}}=\frac{x^2 - (\sqrt{2})^2}{x + \sqrt{2}}=\)
\(=\frac{(x - \sqrt{2})\cancel{(x + \sqrt{2})}}{\cancel{x + \sqrt{2}}} = x - \sqrt{2}.\)
б) \(\frac{\sqrt{5} - a}{5 - a^2}=\frac{\sqrt{5} - a}{(\sqrt{5})^2 - a^2}= \)
\(=\frac{\cancel{\sqrt{5} - a}}{\cancel{(\sqrt{5} - a)}(\sqrt{5} + a)} = \frac{1}{\sqrt{5} + a}.\)
в) \(\frac{\sqrt{x} - 5}{25 - x}=\frac{-(5 - \sqrt{x})}{25 - (\sqrt{x})^2}=\)
\(=-\frac{\cancel{5 - \sqrt{x}}}{\cancel{(5 - \sqrt{x})}(5 + \sqrt{x})} =\)
\(=-\frac{1}{5 + \sqrt{x}}.\)
г) \(\frac{\sqrt{2} + 2}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}{\sqrt{2}}=\)
\(=\frac{\cancel{\sqrt{2}}\cdot(1 + \sqrt{2})}{\cancel{\sqrt{2}}}= 1 + \sqrt{2}.\)
д) \(\frac{5 + \sqrt{10}}{\sqrt{10}}=\frac{(\sqrt{5})^2 + \sqrt{2}\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\)
\(=\frac{\cancel{\sqrt{5}}(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{\sqrt{2}\cdot\cancel{\sqrt{5}}}=\frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
е) \( \frac{2\sqrt{3} - 3}{5\sqrt{3}}= \frac{2\sqrt{3} - (\sqrt{3})^2}{5\sqrt{3}} =\)
\(=\frac{\cancel{\sqrt{3}}(2 - \sqrt{3})}{5\cancel{\sqrt{3}}}=\frac{2 - \sqrt{3}}{5} \)
Пояснения:
Основные используемые формулы:
– Во всех случаях мы обнаружили в числителе и знаменателе общий множитель и сократили его:
\(\frac{ka}{kb} = \frac{a}{b}\).
– Формула разности квадратов:
\( (a+b)(a-b)=a^2-b^2. \)
– Вынесение общего множителя за скобки:
\(a\sqrt{x} + (\sqrt{x})^2 = \sqrt{x}(a+\sqrt{x})\).
– Свойства корня:
\((\sqrt{a})^2 = a\).
– Свойства степени:
\((a^nb^n = (ab)^n\).
Противоположные выражения:
\(a - b = -(b - a)\).
Вернуться к содержанию учебника