Упражнение 429 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{x}{x+\sqrt{y}}=\frac{x(x-\sqrt{y})}{(x+\sqrt{y})(x-\sqrt{y})} =\)

\(=\frac{x(x-\sqrt{y})}{x^2 - (\sqrt{y})^2}=\frac{x(x-\sqrt{y})}{x^2 - y}.\)

б) \( \frac{b}{a-\sqrt{b}}=\frac{b(a+\sqrt{b})}{(a-\sqrt{b})(a+\sqrt{b})} =\)

\(=\frac{b(a+\sqrt{b})}{a^2-(\sqrt{b})^2}=\frac{b(a+\sqrt{b})}{a^2 - b}.\)

в) \(\frac{4}{\sqrt{10}-\sqrt{2}}=\)

\(=\frac{4(\sqrt{10}+\sqrt{2})}{(\sqrt{10}-\sqrt{2})(\sqrt{10}+\sqrt{2})}=\)

\(=\frac{4(\sqrt{10}+\sqrt{2})}{(\sqrt{10})^2-(\sqrt{2})^2}=\)

\(=\frac{4(\sqrt{10}+\sqrt{2})}{10 - 2} =\)

\(=\frac{^1\cancel4(\sqrt{10}+\sqrt{2})}{\cancel8_2} = \frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}.\)

г) \(\frac{12}{\sqrt{3}+\sqrt{6}}= \)

\(=\frac{12(\sqrt{3}-\sqrt{6})}{(\sqrt{3}+\sqrt{6})(\sqrt{3}-\sqrt{6})}=\)

\(=\frac{12(\sqrt{3}-\sqrt{6})}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{6})^2} =\)

\(=\frac{12(\sqrt{3}-\sqrt{6})}{3 - 6} =\)

\(=\frac{^4\cancel{12}(\sqrt{3}-\sqrt{6})}{-\cancel3_1} =\)

\(=-4(\sqrt{3}-\sqrt{6}) =4(\sqrt{6}-\sqrt{3}).\)

д) \( \frac{9}{3-2\sqrt{2}}=\)

\(=\frac{9(3+2\sqrt{2})}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}=\)

\(=\frac{9(3+2\sqrt{2})}{3^2-(2\sqrt{2})^2}=\frac{9(3+2\sqrt{2})}{9 - 4\cdot2}=\)

\(=\frac{9(3+2\sqrt{2})}{9 - 8}=\frac{9(3+2\sqrt{2})}{1} =\)

\(=9(3+2\sqrt{2}).\)

е) \(\frac{14}{1+5\sqrt{2}}=\)

\(=\frac{14(1-5\sqrt{2})}{(1+5\sqrt{2})(1-5\sqrt{2})}=\)

\(=\frac{14(1-5\sqrt{2})}{1^2-(5\sqrt{2})^2}=\frac{14(1-5\sqrt{2})}{1^2-25\cdot2}=\)

\(=\frac{14(1-5\sqrt{2})}{1 - 50} = \frac{^2\cancel{14}(1-5\sqrt{2})}{-\cancel{49}_7} =\)

\(= -\frac{2(1-5\sqrt{2})}{7} = \frac{2(5\sqrt{2}-1)}{7} .\)

Пояснения:

Чтобы избавиться от корней в знаменателе, умножают числитель и знаменатель на такое выражение, которое вместе с выражением, стоящим в знаменателе, образует разность квадратов:

\((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\);

\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\).

Свойство корня:

\((\sqrt{x})^2 = x\).

Противоположные выражения:

\(a - b = - (b-a)\).

Свойство степени:

\(a^nb^n = (ab)^n\).

Сокращение дробей:

\(\frac{ka}{kb} = \frac{a}{b}\).

а) \(\frac{b^2 - 5}{b - \sqrt5} =\frac{b^2 - (\sqrt{5})^2}{b - \sqrt5}=\)

\(=\frac{\cancel{(b-\sqrt5)}(b+\sqrt5)}{\cancel{b-\sqrt5}} = b + \sqrt5.\)

б) \(\frac{m + \sqrt6}{6 - m^2} = \frac{\sqrt6+m}{(\sqrt6)^2-m^2} =\)

\(=\frac{\cancel{\sqrt6+m}}{(\sqrt6-m)\cancel{(\sqrt6+m)}} = \frac{1}{\sqrt6 - m}.\)

в) \(\frac{2 - \sqrt{x}}{x - 4} =\frac{-(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x})^2-2^2} =\)

\(=-\frac{\cancel{\sqrt{x}-2}}{\cancel{(\sqrt{x}-2)}(\sqrt{x}+2)} =\)

\(=-\frac{1}{\sqrt{x}+2}.\)

г) \(\frac{b - 9}{\sqrt b + 3} =\frac{(\sqrt{b})^2 - 3^2}{\sqrt b + 3}=\)

\(=\frac{(\sqrt b - 3)\cancel{(\sqrt b + 3)}}{\cancel{\sqrt b + 3}} = \sqrt b - 3.\)

д) \(\frac{a - b}{\sqrt b + \sqrt a} =\frac{(\sqrt a)^2 - (\sqrt b)^2}{\sqrt a + \sqrt b}=\)

\(=\frac{(\sqrt a - \sqrt b)\cancel{(\sqrt a + \sqrt b)}}{\cancel{\sqrt b + \sqrt a}} = \)

\(=\sqrt a - \sqrt b.\)

е) \(\frac{2\sqrt x - 3\sqrt y}{4x - 9y} =\)

\(=\frac{2\sqrt x - 3\sqrt y}{(2\sqrt x)^2 - (3\sqrt y)^2}=\)

\(=\frac{\cancel{2\sqrt x - 3\sqrt y}}{\cancel{(2\sqrt x - 3\sqrt y)}(2\sqrt x + 3\sqrt y)} =\)

\(=\frac{1}{2\sqrt x + 3\sqrt y}.\)

Пояснения:

– Во всех случаях мы обнаружили в числителе и знаменателе общий множитель и сократили его:

\(\frac{ka}{kb} = \frac{a}{b}\).

– Формула разности квадратов:

\( (a+b)(a-b)=a^2-b^2. \)

– Свойства корня:

\((\sqrt{a})^2 = a\).

– Свойства степени:

\((a^nb^n = (ab)^n\).

Противоположные выражения:

\(a - b = -(b - a)\).