Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№427 учебника 2023-2025 (стр. 102):
Докажите, что значение выражения:
а) \(\displaystyle \frac{1}{3\sqrt{3}-4} \;-\;\frac{1}{3\sqrt{3}+4}\) есть число рациональное;
б) \(\displaystyle \frac{1}{5-2\sqrt{6}} \;-\;\frac{1}{5+2\sqrt{6}}\) есть число иррациональное.
№427 учебника 2013-2022 (стр. 102):
Разложите на множители, используя формулу разности квадратов:
а) \(x^2 - 7\);
б) \(5 - c^2\);
в) \(4a^2 - 3\);
г) \(11 - 16b^2\);
д) \(y - 3\), где \(y \ge 0\);
е) \(x - y\), где \(x > 0\) и \(y > 0\).
№427 учебника 2023-2025 (стр. 102):
Вспомните:
№427 учебника 2013-2022 (стр. 102):
Вспомните:
№427 учебника 2023-2025 (стр. 102):
а) \( \frac{1}{3\sqrt{3}-4} ^{\color{blue}{\backslash{3\sqrt{3}+4}}} - \frac{1}{3\sqrt{3}+4}^{\color{blue}{\backslash{3\sqrt{3}-4}}}=\)
\(=\frac{(3\sqrt{3}+4) - (3\sqrt{3}-4)}{(3\sqrt{3}-4)(3\sqrt{3}+4)}=\)
\(=\frac{\cancel{3\sqrt{3}}+4 - \cancel{3\sqrt{3}}+4}{(3\sqrt{3})^2-4^2}=\)
\(=\frac{8}{9\cdot3-16}=\frac{8}{27 - 16}=\)
\(=\frac{8}{11}\) - рациональное число.
Что и требовалось доказать.
б) \( \frac{1}{5-2\sqrt{6}} ^{\color{blue}{\backslash{5+2\sqrt{6}}}} -\frac{1}{5+2\sqrt{6}}^{\color{blue}{\backslash{5-2\sqrt{6}}}}=\)
\( =\frac{(5+2\sqrt{6})-(5-2\sqrt{6})}{(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})}=\)
\( =\frac{\cancel5+2\sqrt{6}-\cancel5+2\sqrt{6}}{5^2-(2\sqrt{6})^2}=\)
\( =\frac{4\sqrt{6}}{25-4\cdot6}=\frac{4\sqrt{6}}{25-24}=\)
\(=\frac{4\sqrt{6}}{1}=4\sqrt{6}\) - иррациональное число.
Что и требовалось доказать.
Пояснения:
Число, которое можно записать в виде отношения \(\frac{a}{n}\), где \(a\) - целое число, а \(n\) - натуральное число, называют рациональным числом. Иррациональные числа в таком виде представить нельзя.
Чтобы сложить или вычесть рациональные дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести эти дроби к общему знаменателю, после чего воспользоваться правилами сложения или вычитания рациональных дробей с одинаковыми знаменателями.
Использованные приёмы и формулы:
Разность квадратов:
\( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2. \)
Свойство корня:
\((\sqrt{x})^2 = x\).
Противоположные выражения:
\(a - b = - (b-a)\).
Свойство степени:
\((k\sqrt{x})^2 = k^2x\).
№427 учебника 2013-2022 (стр. 102):
а) \(x^2 - 7 = x^2 - (\sqrt7)^2 =\)
\(=(x - \sqrt7)\,(x + \sqrt7).\)
б) \(5 - c^2 = (\sqrt5)^2 - c^2 =\)
\(=(\sqrt5 - c)\,(\sqrt5 + c).\)
в) \(4a^2 - 3 = (2a)^2 - (\sqrt3)^2 =\)
\(=(2a - \sqrt3)\,(2a + \sqrt3).\)
г) \(11 - 16b^2 = (\sqrt{11})^2 - (4b)^2 =\)
\(=(\sqrt{11} - 4b)\,(\sqrt{11} + 4b).\)
д) \(y - 3 = (\sqrt y)^2 - (\sqrt3)^2 =\)
\(=(\sqrt y - \sqrt3)\,(\sqrt y + \sqrt3),\)
при \(y\ge0\).
е) \(x - y = (\sqrt x)^2 - (\sqrt y)^2 = \)
\(=(\sqrt x - \sqrt y)\,(\sqrt x + \sqrt y),\)
при \(x>0,\;y>0\).
Пояснения:
Использованные формулы и приемы:
– Формула разности квадратов:
\( a^2-b^2=(a+b)(a-b). \)
– Свойства корня:
\((\sqrt{a})^2 = a\).
– Свойство степени:
\((ab)^n = a^nb^n\).
Вернуться к содержанию учебника