Упражнение 394 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\sqrt{2^4} = \sqrt{(2^2)^2} = |2^2|= 4\).

б) \(\sqrt{3^4} = \sqrt{(3^2)^2} =|3^2| = 9\).

в) \(\sqrt{2^6} = \sqrt{(2^3)^2}=|2^3|| = 8\).

г) \(\sqrt{10^8} = \sqrt{(10^4)^2} = |10^4| =\)

\(=10000\).

д) \(\sqrt{(-5)^4} = \sqrt{((-5)^2)^2} =\)

\(=|(-5)^2|= 25\).

е) \(\sqrt{(-2)^8} = \sqrt{((-2)^4)^2} =\)

\(=|(-2)^4|= 16\).

ж) \(\sqrt{3^4 \cdot 5^2} = \sqrt{(3^2)^2} \cdot \sqrt{5^2} =\)

\(=|3^2|\cdot|5|=9\cdot5= 45\).

з) \(\sqrt{2^6 \cdot 7^4} = \sqrt{(2^3)^2} \cdot \sqrt{(7^2)^2} =\)

\(=|2^3|\cdot|7^2| = 8 \cdot 49 = 392\).

Пояснения:

– Свойство корня из степени:

\( \sqrt{(x^n)^2} = |x^n|.\)

– Свойство корня из произведения:

\(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\).

– Свойство степени:

\((a^m)^n = a^{mn}\).

– Определение модуля:

\(|a| = a\), при \(a \ge 0\);

\(|a| = -a\), при \(a \le 0\).

а) \(\sqrt{x^2} = |x|\)

Если \(x = 22\), то

\(\sqrt{22^2} = |22| = 22\);

Если \(x = -35\), то

\(\sqrt{(-35)^2} = |-35| = 35\);

Если \(x = -1\tfrac{2}{3}\), то

\(\sqrt{\bigl(-1\frac{2}{3}\bigr)^2} = \bigl|-1\frac{2}{3}\bigr| = 1\frac{2}{3}\);

Если \(x = 0\), то

\(\sqrt{0^2} = |0| = 0\).

б) \(2\sqrt{a^2} = 2|a|\)

Если \(a = -7\), то

\(2\sqrt{(-7)^2} = 2\cdot|-7| = 2\cdot7 = 14\);

Если \(a = 12\), то

\(2\sqrt{12^2} = 2\cdot|12| = 2\cdot12 = 24\).

в) \(0{,}1\sqrt{y^2} = 0,1\cdot|y| \)

Если \(y = -15\), то

\(0{,}1\sqrt{(-15)^2} = 0,1\cdot|-15| =\)

\(=0,1\cdot15 = 1,5\).

Если \(y = 27\), то

\(0{,}1\sqrt{27^2} = 0,1\cdot|27| =0,1\cdot27 =\)

\(=2,7\).

Пояснения:

1) Основное свойство квадратного корня:

\[ \sqrt{x^2} = |x|, \] где \(|x|\) — модуль числа \(x\), равный \(x\), если \(x\ge0\), и \(-x\), если \(x<0\).

2) Если перед корнем стоит множитель \(k\), то

\[ k\sqrt{x^2} = k\cdot|x|. \]