Упражнение 256 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( z = \frac{2}{\frac1a + \frac1b} = \frac{2ab}{a+b}. \)

\( \frac{1}{z - a} \;+\;\frac{1}{z - b} =\)

\(= \frac{1}{ \frac{2ab}{a+b} - a} + \frac{1}{\frac{2ab}{a+b} - b } =\)

\(= \frac{1}{\frac{2ab - a(a+b)}{a+b} } + \frac{1}{\frac{2ab - b(a+b)}{a+b} } =\)

\( =\frac{1}{\frac{ab - a^2}{a+b}} \;+\;\frac{1}{\frac{ab - b^2}{a+b}} =\)

\(= \frac{1}{-\dfrac{a(a - b)}{a+b}} \;+\; \frac{1}{\dfrac{b(a - b)}{a+b}} =\)

\(= -\,\frac{a+b}{a(a - b)} \;+\; \frac{a+b}{b(a - b)} =\)

\(= \frac{a+b}{a - b}\Bigl(-\frac{1}{a}^{\color{red}{\backslash{b}}} + \frac{1}{b}^{\color{red}{\backslash{a}}}\Bigr) =\)

\(=\frac{a+b}{a - b}\;\cdot\frac{-b + a}{ab} = \frac{a+b}{ab} \)

\(= \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \)

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \) - верно.

Пояснения:

• Среднее гармоническое \(a_{ср.}\) для \(n\) чисел \(a_1, a_2,\dots,a_n\) определяется как

\( a_{ср.} =\frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2}+\dots+ \frac{1}{a_n}}.\)

Тогда среднее гармоническое двух чисел \(a,b\): \(\;z = \dfrac{2}{\frac1a+\frac1b} = \dfrac{2ab}{a+b}\).

• Для вычисления суммы обратных дробей приводим их к общему знаменателю, складываем числители и упрощаем.

•  Противоположные выражения:

\(\;b - a = -(a - b)\).

• Вынесение общего множителя за скобки:

\(\;\frac{(a+b)}{(a-b)}\)

• Сложение дробей с разными знаменателями:

\(-\frac1a +\frac1b = \frac{-b+a}{ab}\).

Благодаря этим преобразованиям получаем тождество.

а) \(y = \dfrac{36}{(x+1)^2 - (x-1)^2}\);

\((x+1)^2 - (x-1)^2 \neq0\)

\(x^2 +2x+1 - (x^2 -2x+1) \neq0\)

\( 4x\neq0\)

\(x\neq0\)

Область определения: все числа кроме \(0\).

\(y = \dfrac{36}{4x} = \dfrac{9}{x},\quad x \neq 0\)

б) \(y = \dfrac{18 - 12x}{x^2 - 3x} - \dfrac{6}{3 - x}\);

\(x^2 - 3x \neq0\)               \(3-x\neq0\)

\(x(x-3)\neq0\)                     \(x\neq3\)

\(x\neq0\)      \(x-3\neq0\)     

                 \(x\neq3\)   

Область определения: все числа кроме \(3; 0\).

\(y=\dfrac{18 -12x}{x(x-3)} - \dfrac{6}{3-x} =\)

\(=\dfrac{18 -12x}{x(x-3)} + \dfrac{6}{x-3}=\)

\(=\dfrac{18 -12x +6x}{x(x-3)} = \dfrac{18 -6x}{x(x-3)} =\)

\(=\dfrac{6(3-x)}{x(x-3)} = -\dfrac{6}{x},\quad x\neq 0,\,3\)

в) \(y = \dfrac{16}{(2 - x)^2 - (2 + x)^2}\);

\((2 - x)^2 - (2 + x)^2 \neq0\)

\( (4 -4x + x^2) - (4 +4x + x^2) \neq0\)

\(-8x\neq0\)

\(x\neq0\)

\(y = \dfrac{16}{(2 - x)^2 - (2 + x)^2}=\)

\(=\dfrac{16}{-8x} = -\dfrac{2}{x},\quad x\neq 0\)

г) \(y = \dfrac{3x(x+1) - 3x^2 + 15}{x(x+5)}\).

\(x(x+5)\neq0\)

\(x\neq0\)   \(x+5\neq0\)

              \(x\neq-5\)

Область определения: все числа кроме \(0\) и \(-5\).

\(y = \dfrac{3x(x+1) - 3x^2 + 15}{x(x+5)}=\)

\(= \dfrac{3x^2 +3x -3x^2 +15}{x(x+5)}=\)

\(= \dfrac{3(x+5}{x(x+5)}=\dfrac{3}{x},\) \( x\neq 0,\,-5\)

Пояснения:

Использованные правила и формулы:

Разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\)

Правило приведения дробей к общему знаменателю и сокращения множителей.

Для каждого выражения область определения находится из условия ненулевого знаменателя.

В пункте а) мы применили формулу разности квадратов, чтобы свести сложный квадрат к простому множителю \(4x\), после чего получили функцию \(y=\frac{9}{x}\).

В пункте б) мы раскладываем \(x^2-3x\) в множители, затем приводим дроби к общему знаменателю и сокращаем общий множитель \((x-3)\), получая \(y=-\frac{6}{x}\). Замечаем, что в исходном выражении была особая точка при \(x=3\), которая будет "выколота" в графике исходной функции.

В пункте в) снова используем разность квадратов, получая знаменатель \(-8x\) и функцию \(y=-\frac{2}{x}\).

В пункте г) упрощаем числитель: \(3x(x+1)-3x^2+15 = 3(x+5)\), сокращаем с \((x+5)\) в знаменателе и получаем \(y=\frac{3}{x}\), помня о разрывах при \(x=0\) и \(x=-5\).

Графики всех функций представляют собой гиперболы вида \(y=\frac{A}{x}\). В пунктах б) и г) существуют дополнительные «разрывы» в точках, где сокращались множители.