Упражнение 220 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\frac{b^{14} - b^7 + 1}{b^{21} + 1}=\frac{b^{14} - b^7 + 1}{(b^7)^3 + 1}=\)

\(=\frac{ \cancel {b^{14} - b^7 + 1}}{(b^7 + 1) \cancel {(b^{14} - b^7 + 1)}}=\)

\( = \frac{1}{b^7 + 1}; \)

б) \(\frac{x^{33} - 1}{x^{33} + x^{22} + x^{11}}=\)

\(=\frac{(x^{11})^3 - 1}{x^{11}(x^{22} + x^{11} + 1)}=\)

\(=\frac{(x^{11} - 1) \cancel {(x^{22} + x^{11} + 1)}}{x^{11} \cancel {(x^{22} + x^{11} + 1)}}=\)

\( =\frac{x^{11} - 1}{x^{11}}; \)

в) \(\frac{x(y - z) - y(x - z)}{x(y - z)^2 - y(x - z)^2}=\)

\(=\frac{xy - xz - yx + yz}{x(y^2 - 2yz + z^2) - y(x^2 - 2xz + z^2)}=\)

\(=\frac{ - xz  + yz}{xy^2 - 2xyz + xz^2-yx^2 + 2yxz - yz^2}=\)

\(=\frac{-z(x-y)}{xy^2 + xz^2-yx^2- yz^2}=\)

\(=\frac{-z(x-y)}{(xy^2 -yx^2)+ (xz^2- yz^2)}=\)

\(=\frac{-z(x-y)}{-xy(x-y)+z^2 (x- y)}=\)

\(=\frac{ \cancel {-(x - y)}z}{ \cancel {-(x - y)}(xy - z^2)} = \frac{z}{xy - z^2};\)

г) \(\frac{a(b + 1)^2 - b(a + 1)^2}{a(b + 1) - b(a + 1)}=\)

\(=\frac{a(b^2 + 2b + 1) - b(a^2 + 2a + 1)}{a + ab - ab - b}=\)

\(=\frac{ab^2 + 2ab + a-a^2b - 2ab -b}{a + ab - ab - b}=\)

\(=\frac{ab^2 + a-a^2b -b}{a - b}=\)

\(=\frac{(ab^2 -a^2b) + (a-b)}{a - b}=\)

\(=\frac{-ab(a-b) + (a-b)}{a-b}=\)

\(=\frac{(1-ab) \cancel {(a-b)}}{ \cancel {a-b}}=1-ab.\)

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

– Формула суммы/разности кубов: \(u^3 \pm v^3 = (u \pm v)(u^2 \mp uv + v^2)\).

– Вынос общего множителя и группировка одночленов.

– Сокращение общего множителя в числителе и знаменателе.

Комментарий к шагам:

а) Применили сумму кубов к \(b^{21}+1\), сократили общий множитель.

б) Сначала разложили числитель как разность кубов и знаменатель вынесли общий \(x^{11}\), затем сократили.

в) Раскрыли скобки, сгруппировали члены, вынесли общий множитель \((x - y)\) и сократили.

г) Раскладывание на множители показало общий множитель \((a - b)\), после чего выполнили сокращение.

а) \(\displaystyle \frac{x^2 - 2x}{x - 3} - \frac{4x - 9}{x - 3} =\)

\(=\frac{x^2 - 2x -4x +9}{x-3} =\)

\(=\frac{x^2 - 6x +9}{x-3} =\)

\(=\frac{(x-3)^{ \cancel 2}}{ \cancel {x-3}} = x - 3.\)

б) \(\displaystyle \frac{y^2 - 10}{y - 8} - \frac{54}{y - 8} =\)

\(=\frac{y^2 - 10 - 54}{y-8} = \frac{y^2 - 64}{y-8} =\)

\(\frac{ \cancel {(y-8)}(y+8)}{ \cancel {y-8}} = y + 8.\)

в) \(\displaystyle \frac{a^2}{a^2 - b^2} + \frac{b^2}{b^2 - a^2} =\)

\(=\frac{a^2}{a^2 - b^2} - \frac{b^2}{a^2 - b^2} =\)

\(= \frac{a^2 - b^2}{a^2 - b^2} = 1.\)

г) \(\displaystyle \frac{x^2 - 2x}{x^2 - y^2} - \frac{2y - y^2}{y^2 - x^2} =\)

\(=\frac{x^2 - 2x}{x^2 - y^2} + \frac{2y - y^2}{x^2 - y^2} =\)

\(= \frac{x^2 - 2x +2y -y^2}{x^2 - y^2} =\)

\(= \frac{x^2  -y^2- 2x +2y}{x^2 - y^2} =\)

\(= \frac{(x  -y)(x+y)- 2(x -y)}{x^2 - y^2} =\)

\(= \frac{\cancel{(x  -y)}(x+y- 2)}{\cancel{(x - y)}(x+y)} =\)

\(= \frac{(x+y- 2)}{(x+y)} .\)

Пояснения:

Основные используемые правила и формулы:

1) Свойство сложения/вычитания дробей с одинаковым знаменателем: \[\frac{A}{C} \pm \frac{B}{C} = \frac{A \pm B}{C}.\]

2) Формула разности квадратов: \[A^2 - B^2 = (A - B)(A + B).\]

а) Сначала привели две дроби к общему знаменателю \(x-3\), объединили числители: \[x^2 - 2x - (4x - 9) = x^2 - 2x - 4x + 9 = x^2 - 6x + 9.\] Затем заметили, что \(x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2\), и сократили на \(x-3\).

б) Аналогично объединили дроби с общим знаменателем \(y-8\): \[y^2 - 10 - 54 = y^2 - 64,\] а \(y^2 - 64 = (y-8)(y+8)\), что даёт сокращение на \(y-8\).

в) Во второй дроби поменяли знак знаменателя \(b^2 - a^2 = -(a^2 - b^2)\): \[\frac{b^2}{b^2 - a^2} = -\frac{b^2}{a^2 - b^2}.\] После приведения к общему знаменателю получилось \(\frac{a^2 - b^2}{a^2 - b^2} = 1\).

г) Во второй дроби также изменили знак: \(- \frac{2y - y^2}{y^2 - x^2}=+ \frac{2y - y^2}{ x^2-y^2}\)

Затем объединили с первой дробью: \(x^2 - 2x +2y -y^2\) над общим знаменателем \(x^2 - y^2\). Разложили числитель и знаменатель на множители: \((x  -y)(x+y- 2)\) и \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\). Сократили на  \(x-y.\)