Упражнение 202 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Предположим

\(\frac{5x - 1}{(x + 4)(x - 2)} = \frac{a}{x + 4} + \frac{b}{x - 2}\)

\(\frac{a}{x + 4} + \frac{b}{x - 2}=\)

\(=\frac{a(x-2)}{(x + 4)(x-2)} + \frac{b(x+4)}{(x+4)(x - 2)}=\)

\(=\frac{a(x-2)+b(x+4)}{(x + 4)(x-2)} =\)

\(=\frac{x(a+b)+(4b-2a)}{(x + 4)(x-2)} \)

\(\frac{5x - 1}{(x + 4)(x - 2)} = \frac{x(a+b)+(4b-2a)}{(x + 4)(x-2)}\)

\(\begin{cases} a+b = 5,\\ 4b-2a = -1; \end{cases}\)

\(\begin{cases} a= 5-b,\\ 4b-2(5-b) = -1; \end{cases}\)

\(4b-2(5-b) = -1\)

\(4b-10+2b = -1\)

\(6b = -1+10\)

\(6b = 9\)

\(b=\frac{9}{6}\)

\(b=1,5\)

Тогда \(a = 5 - 1,5 =3,5\)

Следовательно,

\(\frac{5x - 1}{(x + 4)(x - 2)} = \frac{3,5}{x + 4} + \frac{1,5}{x - 2}\)

Пояснения:

Использованные правила:

Для разложения на простейшие дроби представляют рациональную дробь как сумму дробей с неизвестными числителями, выполняют сложение дробей из правой части равенства. Приравнивают коэффициенты получившихся многочленов в числителях дробей.

Пояснения к шагам:

1. Выражение \(\frac{5x - 1}{(x + 4)(x - 2)}\) представили в виде \(\frac{a}{x + 4} + \frac{b}{x - 2}\).

2. Выполнили сложение дробей в правой части уравнения.

3. Раскрыли в числителе скобки и собрали подобные члены, чтобы получить выражение вида \((a+b)x + (4b-2a)\).

4. Составили и решили систему уравнений по сравнению коэффициентов при \(x\) и свободных членов.

5. Получили \(a = 3,5\) и \(b = 1,5\), что и дало окончательное разложение.

а) \(5x + y - xy = 2;\)

\((5 - y)x = 2-y;\)

\(x=\frac{2-y}{5-y}\)

\(x=\frac{y-2}{y-5}\)

\(x=\frac{(y-5)+3}{y-5}\)

\(x=1+\frac{3}{y-5}\)

Делители 3: \(\pm1,\pm3\).

\(y-5=3\;\Rightarrow\;y=8\):

\(x=1+\frac{3}{8-5}=2\)

\(y-5=1\;\Rightarrow\;y=6:\)

\(x=1+\frac{3}{6-5}=4\)

\(y-5=-3\;\Rightarrow\;y=2:\)

\(x=1+\frac{3}{2-5}=0\)

\(y-5=-1\;\Rightarrow\;y=4:\)

\(x=1+\frac{3}{4-5}=-2\)

Ответ: \((2;8);\) \((4; 6); (0; 2); (-2; 4).\)

б) \(xy - x + y = 8\)

\((x+1)y =x+ 8\)

\(y=\frac{x+8}{x+1}\)

\(y=\frac{(x+1)+7}{x+1}\)

\(y=1+\frac{7}{x+1}\)

Делители 7: \(\pm1,\pm7\).

\(x+1=1\Rightarrow\;x=0:\)

\(y=1+\frac{7}{0+1}=8\)

\(x+1=7\Rightarrow\;x=6:\)

\(y=1+\frac{7}{6+1}=2\)

\(x+1=-1\Rightarrow\;x=-2:\)

\(y=1+\frac{7}{-2+1}=-6\)

\(x+1=-7\Rightarrow\;x=-8:\)

\(y=1+\frac{7}{-8+1}=0\)

Ответ: \((0; 8); (6; 2); (-2; -6); (-8;0).\)

Пояснения:

1. Выражаем одну переменную через другую.

2. Выделяем из полученной дроби целую часть.

3. Находим значение переменной, при котором дробная часть будет являться целым числом.

4. Вычисляем значение второй переменной при полученном значении первой.