Упражнение 155 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((a^2+2a+1)\;\cdot\;\Bigl(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a^2-1}-\frac{1}{a-1}\Bigr)=\)

\(= (a+1)^2\cdot\Bigl(\frac{1}{a+1} ^{\color{blue}{\backslash{a-1}}} +\frac{1}{(a-1)(a+1)}-\frac{1}{a-1} ^{\color{blue}{\backslash{a+1}}} \Bigr) =\)

\(=(a+1)^2\cdot \frac{(a-1)+1-(a+1)}{a-1)(a+1)}=\)

\(=(a+1)^2\cdot \frac{\cancel{a}-1+\cancel{1}-\cancel{a}-\cancel{1}}{(a-1)(a+1)}=\)

\(=(a+1)^2\cdot\frac{-1}{(a-1)(a+1)}=\)

\(=-\frac{(a+1)^{\cancel{2}}}{(a-1)\cancel{(a+1)}}=-\frac{a+1}{a-1}=\)

\(=\frac{a+1}{-(a-1)}=\frac{a+1}{1-a}.\)

б) \(\Bigl(1 ^{\color{blue}{\backslash{12x}}} -\frac{9x^2+4}{12x}\Bigr):\Bigl(\frac{1}{3x} ^{\color{blue}{\backslash2}} -\frac{1}{2} ^{\color{blue}{\backslash{3x}}} \Bigr)+1=\)

\(=\frac{12x-(9x^2+4)}{12x}:\frac{2-3x}{6x}+1=\)

\(=\frac{12x-9x^2-4}{12x}\cdot\frac{6x}{2-3x}+1=\)

\(=\frac{-(4-12x+9x^2)}{12x}\cdot\frac{6x}{2-3x}+1=\)

\(=-\frac{(2-3x)^2}{12x}\cdot\frac{6x}{2-3x}+1=\)

\(=-\frac{(2-3x)^{\cancel{2}}\cdot\cancel{6x}}{_2  \cancel{12x}\cdot\cancel{(2-3x)}}+1=\)

\(=-\frac{2-3x}{2}+1=\frac{3x-2}{2}+1 ^{\color{blue}{\backslash2}} =\)

\(=\frac{3x-2+2}{2} =\frac{3x}{2}.\)

в) \(1-\Bigl(\frac{2}{a-2}-\frac{2}{a+2}\Bigr)\;\cdot\;\Bigl(a-\frac{3a+2}{4}\Bigr)=\)

\(=1-\Bigl(\frac{2}{a-2} ^{\color{blue}{\backslash{a+2}}} -\frac{2}{a+2} ^{\color{blue}{\backslash{a-2}}} \Bigr)\;\cdot\;\Bigl(a ^{\color{blue}{\backslash4}} -\frac{3a+2}{4}\Bigr)=\)

\(=1-\frac{2(a+2)-2(a-2)}{a^2-4}\cdot\frac{4a-(3a+2)}{4}=\)

\(=1-\frac{\cancel{2a}+4-\cancel{2a}+4}{a^2-4}\cdot\frac{4a-3a-2}{4}=\)

\(=1-\frac{8}{(a-2)(a+2)}\cdot \frac{a-2}{4}=\)

\(=1-\frac{^2\cancel{8}\cdot\cancel{(a-2)}}{\cancel{(a-2)}(a+2)\cdot\cancel{4}}=\)

\(=1 ^{\color{blue}{\backslash{a+2}}} -\frac{2}{a+2}=\)

\(=\frac{a+2-2}{a+2}=\frac{a}{a+2}.\)

г) \((y^2-4)\Bigl(\frac{3}{y+2} ^{\color{blue}{\backslash{y-2}}} -\frac{2}{y-2} ^{\color{blue}{\backslash{y+2}}} \Bigr)+5=\)

\(=(y^2-4)\cdot\frac{3(y-2)-2(y+2)}{y^2-4}+5=\)

\(=(y^2-4)\cdot\frac{3y-6-2y-4}{y^2-4}+5=\)

\(=(y^2-4)\cdot\frac{y-10}{y^2-4}+5=\)

\(=\frac{\cancel{(y^2-4)}\cdot(y-10)}{\cancel{y^2-4}}+5=\)

\(=y-10+5=y-5.\)

Пояснения:

Основные используемые правила:

1) Порядок действий:

если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками;

если в выражении нет скобок, то сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

4) Вынос общего множителя:

\(\displaystyle p\,a+p\,b=p(a+b).\)

5) Разность квадратов:

\(\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y).\)

6) Квадрат суммы двух выражений:

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

7) Квадрат суммы двух выражений:

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\);

8) Противоположные выражения:

\(a-b = -(b-a)\).

9) Свойство степени:

\(a^nb^n = (ab)^n\).

а) \( \frac{4xy}{y^2 - x^2} : \Bigl(\frac{1}{y^2 - x^2} + \frac{1}{x^2 + 2xy + y^2}\Bigr)=\)

\( =\frac{4xy}{y^2 - x^2} : \Bigl( \frac{1}{(y - x)(y+x)} ^{\color{blue}{\backslash{y+x}}} + \frac{1}{(y+x)^2} ^{\color{blue}{\backslash{y-x}}} \Bigr)=\)

\( =\frac{4xy}{y^2 - x^2} : \frac{(y+x)+(y-x)}{(y-x)(y+x)^2} =\)

\( =\frac{4xy}{y^2 - x^2} : \frac{y+\cancel{x}+y-\cancel{x}}{(y-x)(y+x)^2} =\)

\( =\frac{4xy}{y^2 - x^2} : \frac{2y}{(y^2-x^2)(y+x)} =\)

\( =\frac{4xy}{y^2 - x^2} \cdot \frac{(y^2-x^2)(y+x)}{2y} =\)

\( =\frac{^2\cancel{4}x\cancel{y}\cdot\cancel{(y^2-x^2)}(y+x)}{\cancel{(y^2 - x^2)}\cdot\cancel{2y}} =\)

\(=2x(y+x).\)

б) \(\Bigl(\frac{x-2y}{x^2+2xy} - \frac{1}{x^2-4y^2}:\frac{x+2y}{(2y-x)^2}\Bigr)\;\cdot\;\frac{(x+2y)^2}{4y^2}=\)

\(=\Bigl(\frac{x-2y}{x(x+2y)} - \frac{1}{(x-2y)(x+2y)}\cdot\frac{(2y-x)^2}{x+2y}\Bigr)\;\cdot\;\frac{(x+2y)^2}{4y^2}=\)

\(=\Bigl(\frac{x-2y}{x(x+2y)} - \frac{(x-2y)^{\cancel{2}}}{{\cancel{(x-2y)}}(x+2y)^2}\Bigr)\;\cdot\;\frac{(x+2y)^2}{4y^2}=\)

\(=\Bigl(\frac{x-2y}{x(x+2y)} ^{\color{blue}{\backslash{x+2y}}} - \frac{x-2y}{(x+2y)^2} ^{\color{blue}{\backslash{x}}} \Bigr)\;\cdot\;\frac{(x+2y)^2}{4y^2}=\)

\(=\frac{(x-2y)(x+2y)-x(x-2y)}{x(x+2y)^2}\;\cdot\;\frac{(x+2y)^2}{4y^2}=\)

\(=\frac{\cancel{x^2}-4y^2-\cancel{x^2}+2xy}{x(x+2y)^2}\;\cdot\;\frac{(x+2y)^2}{4y^2}=\)

\(=\frac{-4y^2+2xy}{x(x+2y)^2}\;\cdot\;\frac{(x+2y)^2}{4y^2}=\)

\(=\frac{\cancel{2y}(x-2y)\cdot\cancel{(x+2y)^2}}{x\cancel{(x+2y)^2}\cdot\cancel{4}_2y^{\cancel{2}}}=\)

\(=\frac{x-2y}{2xy}.\)

Пояснения:

Основные используемые правила:

1) Порядок действий:

если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками;

если в выражении нет скобок, то сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

4) Вынос общего множителя:

\(\displaystyle p\,a+p\,b=p(a+b).\)

5) Разность квадратов:

\(\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y).\)

6) Квадрат суммы двух выражений:

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

7) Противоположные выражения:

\(a-b = -(b-a)\).

8) Свойство степени:

\(a^nb^n = (ab)^n\).

Пояснения к пунктам:

Пункт а): привели две дроби к общему знаменателю \((y-x)(x+y)^2\), сложили числители, затем разделили исходную дробь на получившуюся и сократили одинаковые множители.

Пункт б): сначала заменили деление на дробь умножением на обратную и упростили его, затем выполнили вычитание дробей, а в конце умножили на внешнюю дробь и сократили одинаковые множители.