Упражнение 146 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{2b}{2b+3}-\frac{5}{3-2b}-\frac{4b^2+9}{4b^2-9} =\)

\( =\frac{2b}{2b+3} ^{\color{blue}{\backslash{2b-3}}} +\frac{5}{2b-3} ^{\color{blue}{\backslash{2b+3}}} -\frac{4b^2+9}{(2b-3)(2b+3)} =\)

\(=\frac{2b(2b-3)+5(2b+3)-(4b^2+9)}{(2b-3)(2b+3)} =\)

\(=\frac{\cancel{4b^2} -6b +10b +15 - \cancel{4b^2}-9}{(2b+3)(2b-3)} \)

\( = \frac{4b +6}{(2b+3)(2b-3)} =\)

\( = \frac{2\cancel{(2b+3)}}{\cancel{(2b+3)}(2b-3)} = \frac{2}{2b-3}. \)

б) \( \frac{c+6b}{ac+2bc-6ab-3a^2}+\frac{2b}{a^2+2ab}-\frac{b}{ac-3a^2}=\)

\(= \frac{c+6b}{c(a+2b)-3a(a+2b)}+\frac{2b}{a(a+2b)}-\frac{b}{a(c-3a)}=\)

\(= \frac{c+6b}{(a+2b)(c-3a)} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} +\frac{2b}{a(a+2b)} ^{\color{blue}{\backslash{c-3a}}} -\frac{b}{a(c-3a)} ^{\color{blue}{\backslash{a+2b}}} =\)

\(=\frac{a(c+6b) + 2b(c-3a) - b(a+2b)}{a(a+2b)(c-3a)} =\)

\( = \frac{ac +\cancel{6ab} +2bc -\cancel{6ab} -ab -2b^2}{a(a+2b)(c-3a)} =\)

\( = \frac{ac +2bc - ab -2b^2}{a(a+2b)(c-3a)}= \)

\( = \frac{c(a +2b) - b(a + 2b)}{a(a+2b)(c-3a)}= \)

\( = \frac{\cancel{(a+2b)}(c-b)}{a\cancel{(a+2b)}(c-3a)} =\)

\( = \frac{c-b}{a(c-3a)}. \)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1)  Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

2) При разложении на множители знаменателей используем способ группировки и следующие приемы:

- разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\);

- вынесение общего множителя за скобки:

\(kx-ky=k(x-y)\);

- свойство степени:

\(a^nb^n = (ab)^n\).

3) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены. При раскрытии скобок помним следующие правила:

- умножение одночлена на многочлен:

\(a(b+c) = ab + ac\);

- противоположны выражения:

\(a-b = -(b-a)\).

4) После выполнения сложения и вычитания числителей, числитель полученной дроби раскладываем на множители и сокращаем дробь на общий множитель числителя и знаменателя.

а) \( y = \frac{ab}{2c},\)     /\(\times2c\)

\( 2cy = ab,\)   / \(: 2y\)

\(c = \frac{ab}{2y}. \)

б) \( y = \frac{ab}{2c},\)   /\(\times2c\)

\(2cy = ab,\)

\(ab=2cy,\)   / \(: b\)

\(a = \frac{2cy}{b}. \)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

В пункте а) умножили обе части уравнения на \(2c\), получили \(2cy = ab\), затем разделили обе части на \(2y\), чтобы выразить \(c\).

В пункте б) аналогично умножили на \(2c\), получили \(2cy = ab\), затем разделили на \(b\), чтобы выразить \(a\).