Упражнение 143 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\displaystyle \frac{3x+6y}{x^2-y^2}:\frac{5x+10y}{x^2-2xy+y^2} =\)

\(=\displaystyle \frac{3(x+2y)}{(x-y)(x+y)}:\frac{5(x+2y)}{(x-y)^2} =\)

\(=\frac{3(x+2y)}{(x-y)(x+y)}\cdot\frac{(x-y)^2}{5(x+2y)} =\)

\(=\frac{3\cancel{(x+2y)}\cdot(x-y)^{\cancel{2}}}{\cancel{(x-y)}(x+y)\cdot5\cancel{(x+2y)}} =\)

\(=\frac{3(x-y)}{5(x+y)}\)

б) \(\displaystyle \frac{a^2+4a+4}{16-b^4}:\frac{4-a^2}{4+b^2} =\)

\(=\displaystyle \frac{(a+2)^2}{(4-b^2)(4+b^2)}:\frac{(2-a)(2+a)}{4+b^2} =\)

\(=\frac{(a+2)^2}{(4-b^2)(4+b^2)}\cdot\frac{4+b^2}{(2-a)(2+a)} =\)

\(=\frac{(a+2)^{\cancel{2}}\cdot\cancel{(4+b^2)}}{(4-b^2)\cancel{(4+b^2)}(2-a)\cancel{(2+a)}} =\)

\(=\frac{a+2}{(4-b^2)(2-a)}\)

Пояснения:

Правила, использованные в решении:

– Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

– Разложение на множители:

- разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\);

- вынесение общего множителя за скобки:

\(ka+kb=k(a+b)\);

- квадрат суммы двух выражений:

\((a+b)^2=a^2 + 2ab+b^2\);

- квадрат разности двух выражений:

\((a-b)^2=a^2 - 2ab+b^2\);

- свойство степени:

\((a^m)^n=(a)^{mn}\).

В каждом пункте сначала разложили числитель и знаменатель на множители по указанным выше формулам, перешли от деления к умножению и сократили общие множители числителя и знаменателя.

а) \( \frac{1}{a} ^{\color{blue}{\backslash{b}}} + \frac{1}{b} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} = \frac{1}{c},\)

\(\frac{b + a}{ab} = \frac{1}{c},\)

\(c = \frac{ab}{a + b}. \)

б) \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c},\)

\(\frac{1}{b} = \frac{1}{c} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} - \frac{1}{a} ^{\color{blue}{\backslash{c}}} ,\)

\(\frac{1}{b} = \frac{a - c}{ac},\)

\(b = \frac{ac}{a - c}. \)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1. Сложение дробей: \(\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b+a}{ab}.\)

2. Свойство обратной дроби: если \(\displaystyle \frac{x}{y} = \frac{1}{z}\), то \(z = \frac{y}{x}.\)

3. Вычитание дробей: \(\displaystyle \frac{1}{c} - \frac{1}{a} = \frac{a-c}{ac}.\)

В пункте а) привели сумму дробей к общему знаменателю \(ab\), получили \(\frac{b+a}{ab}\) и, приравняв к \(\frac{1}{c}\), применили обратную дробь для выражения \(c\).

В пункте б) из исходного равенства изолировали \(\frac{1}{b}\) через вычитание дробей, привели к общему знаменателю \(ac\) и затем воспользовались свойством обратной дроби для получения \(b\).