Упражнение 104 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

1) Доказательство:

\( \frac{1}{x+n} ^{\color{blue}{\backslash{x+n+1}}} -\frac{1}{x+n+1} ^{\color{blue}{\backslash{x+n}}} =\)

\(=\frac{(x+n+1)-(x+n)}{(x+n)(x+n+1)} =\)

\(=\frac{\cancel{x}+\cancel{n}+1-\cancel{x}-\cancel{n}}{(x+n)(x+n+1)} =\)

\(=\frac{1}{(x+n)(x+n+1)}. \)

2) \( \frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4)}= \)

\( =\bigl(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\bigr) +\bigl(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}\bigr) +\bigl(\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}\bigr)= \)

\( = \frac{1}{x+1} - \cancel{\frac{1}{x+2}}+ \cancel{\frac{1}{x+2}} - \cancel{\frac{1}{x+3}} + \cancel{\frac{1}{x+3}} - \frac{1}{x+4}= \)

\(= \frac{1}{x+1}^{\color{blue}{\backslash{x+4}}} - \frac{1}{x+4}^{\color{blue}{\backslash{x+1}}}= \)

\(= \frac{(x+4)-(x+1)}{(x+1)(x+4)}=\)

\(= \frac{\cancel{x}+4-\cancel{x}-1}{(x+1)(x+4)}=\)

\(=\frac{3}{(x+1)(x+4)}.\)

Пояснения:

Приемы использованные при доказательстве:

1)  Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители.

2) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены. При раскрытии скобок помним следующее правило:

\(a-b = -(b-a)\).

Приемы использованные при упрощении:

1) Каждую из трёх дробей исходного выражения представили как разность двух дробей, что позволило при сложении сократить все «внутренние» члены.

2) Остались лишь первое и последнее слагаемые:

\(\frac{1}{x+1}\) и \(-\frac{1}{x+4}\).

3) Выполнив вычитание оставшихся членов получили упрощенное выражение:

\(\frac{3}{(x+1)(x+4)}.\)

\( t = \frac{s}{v} ^{\color{blue}{\backslash{}v-2}} + \frac{2s}{v-2} ^{\color{blue}{\backslash{v}}} =\)

\(= \frac{s(v-2) + 2s\,v}{v(v-2)} =\)

\(=\frac{s\,(v-2 + 2v)}{v(v-2)} = \frac{s\,(3v-2)}{v(v-2)}. \)

Если \(s=10\), \(v=6\), то

\( t = \frac{10\cdot(3\cdot6 - 2)}{6\,(6-2)} =\)

\(=\frac{10\cdot(18 - 2)}{6\cdot4} = \frac{10\cdot\cancel{16}  ^2}{\cancel{24}_3} =\)

\(=\frac{20}{3}\text{ ч} = 6\frac23\text{ ч}=6\text{ ч} \,  40 \text{ мин} \)

Ответ: \(t = 6\text{ ч} \,  40 \text{ мин} \).

Пояснения:

— Время движения равно отношению пути к скорости: \(t = \tfrac{\text{расстояние}}{\text{скорость}}\).

— Общий путь складывается из времени на каждом участке.

— Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители.

— После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены.

— После преобразований подставляем вместо переменных