Упражнение 103 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

1) \(x + 5 + \dfrac{7x}{x - 5} =\)

\(=\frac{x + 5}{1} ^{\color{blue}{\backslash{x-5}}} + \dfrac{7x}{x - 5} =\)

\(=\dfrac{(x+5)(x-5) + 7x}{x-5} =\)

\(=\dfrac{x^2 - 25 + 7x}{x-5} =\)

\(=\dfrac{x^2 + 7x - 25}{x - 5}\) — верно.

2) \(x + 12 + \frac{35}{x - 5}= \)

\(=\frac{x + 12}{1} ^{\color{blue}{\backslash{x-5}}} + \frac{35}{x - 5}= \)

\(=\frac{(x+12)(x-5)+35}{x - 5}= \)

\(=\frac{x^2-5x+12x-60+35}{x - 5}= \)

\(=\frac{x^2+7x-25}{x - 5} \) — верно.

3) \(-x + \dfrac{2x - 25}{x - 5} =\)

\(=\frac{-x}{1} ^{\color{blue}{\backslash{x-5}}} + \dfrac{2x - 25}{x - 5} =\)

\(=\dfrac{-x(x-5) + 2x - 25}{x-5} =\)

\(=\dfrac{-x^2 +5x +2x - 25}{x-5} = \)

\(=\dfrac{-x^2 + 7x - 25}{x-5} \) — неверно.

4) \(x + \dfrac{12x - 25}{x - 5} =\)

\(=\frac{x}{1} ^{\color{blue}{\backslash{x-5}}} + \dfrac{12x - 25}{x - 5} =\)

\(=\dfrac{x(x-5) + 12x - 25}{x-5} = \)

\(=\dfrac{x^2 -5x + 12x - 25}{x-5} =\)

\(=\dfrac{x^2 + 7x - 25}{x - 5},\) — верно.

Ответ: неверный ответ — вариант 3.

Пояснения:

1) Выражения без знаменателей сначала записываем в виде дробей со знаменателем 1, затем для сложения/вычитания дробей приводят их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель соответствующих дробей на недостающие множители. После этого выполняют действия с числителями, оставляя общий знаменатель.

2) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены. При раскрытии скобок помним следующие правила:

- умножение одночлена на многочлен:

\(a(b+c) = ab + ac\).

- умножение многочлена на многочлен:

\((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\).

Скорость катера в стоячей воде \(v\) км/ч, скорость течения 5 км/ч, тогда скорость катера против течения \(v-5\) (км/ч), а течению \(v+5\) (км/ч).

\( t = \frac{s}{v-5} + \frac{s}{v+5}= \)

\( = s\cdot\bigl(\frac{1}{v-5} ^{\color{blue}{\backslash{v+5}}} + \frac{1}{v+5} ^{\color{blue}{\backslash{v-5}}} \bigr )= \)

\( = s\cdot\frac{(v+5)+(v-5)}{v^2-25} =\)

\( = s\cdot\frac{v+\cancel{5}+v-\cancel{5}}{v^2-25} =\)

\(=s\cdot\frac{2v}{v^2-25} = \frac{2sv}{v^2-25}. \)

а) Если \(s=50,\;v=25\), то

\( t = \frac{2\cdot50\cdot25}{25^2-25} = \frac{2500}{625-25} = \)

\(=\frac{2500}{600} = \frac{25}{6}\ = 4\frac{1}{6} ч = 4 \, ч \, 10 \, мин \)

б) Если \(s=105,\;v=40\), то

\( t = \frac{2\cdot105\cdot40}{40^2-25} = \frac{80\cdot105}{1600-25} =\)

\(=\frac{80\cdot\cancel{105}}{\cancel{1575}_{15}} =\frac{80}{15} = \frac{16}{3}=\)

\(=5\frac13 ч = 5 \, ч \, 20\,  мин \)

Пояснения:

— Время пути при постоянной скорости находится как отношение расстояния к скорости: \(t = \frac{s}{v}\).

— При движении против и по течению скорости меняются на величину скорости течения.

— Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители.

— После приведения к общему знаменателю выполняем сложение числителей, затем упрощаем числитель.

— После преобразований подставляем вместо переменных \(s\) и \(v\) числовые значения и выполняем вычисления.