Упражнение 101 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\ \frac{3}{a^2 - 3a} + \frac{a^2}{a - 3}= a + 3 + \frac{9a + 3}{a^2 - 3a}\)

Левая часть:

\(\displaystyle \frac{3}{a^2 - 3a} + \frac{a^2}{a - 3}=\)

\(= \frac{3}{a(a-3)} + \frac{a^2}{a-3}^{\color{blue}{\backslash{a}}} =\)

\(=\ \frac{3 + a^3}{a(a-3)}. \)

Правая часть:

\( a + 3 + \frac{9a+3}{a(a-3)} =\)

\(=\frac{a + 3}{1} ^{\color{blue}{\backslash{a(a-3)}}} + \frac{9a+3}{a(a-3)} =\)

\(=\frac{a(a+3)(a-3)+(9a+3)}{a(a-3)} =\)

\(=\frac{a(a^2-9) + 9a + 3}{a(a-3)}= \)

\(=\frac{a^3-\cancel{9a} +\cancel{9a} + 3}{a(a-3)}= \)

\( = \frac{a^3 + 3}{a(a-3)}=\frac{3+a^3}{a(a-3)}.\)

Что и требовалось доказать.

б) \( \frac{a^3}{a^2 - 4} - \frac{a}{a - 2} - \frac{2}{a + 2} = a - 1.\)

Левая часть:

\( \frac{a^3}{a^2 - 4} - \frac{a}{a - 2} - \frac{2}{a + 2} =\)

\(= \frac{a^3}{(a-2)(a+2)} - \frac{a}{a-2} ^{\color{blue}{\backslash{a+2}}} - \frac{2}{a+2} ^{\color{blue}{\backslash{a-2}}} =\)

\(=\frac{a^3 -a(a+2)-2(a-2)}{(a-2)(a+2)}=\)

\(=\frac{a^3 - a^2 - 2a - 2a + 4}{(a-2)(a+2)}=\)

\(=\frac{a^3 - a^2 - 4a + 4}{(a-2)(a+2)}=\)

\(=\frac{a^2(a - 1) - 4(a - 1)}{(a-2)(a+2)}=\)

\(=\frac{(a - 1)\cancel{(a^2 - 4)}}{\cancel{(a^2-4)}}=a-1\)

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

1) Для доказательства того, что рассматриваемые выражения тождественно равны, нужно преобразовать каждое из выражений, в результате чего должен получится одинаковый результат.

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

2) При разложении на множители знаменателей используем следующие приемы:

- разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\);

- вынесение общего множителя за скобки:

\(kx-ky=k(x-y)\).

3) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены.

4) В пункте б) в числителе также применили способ группировки для разложения на множители и сократили полученную дробь на общий множитель числителя и знаменателя.

1) \(x + 5 + \dfrac{7x}{x - 5} =\)

\(=\frac{x + 5}{1} ^{\color{blue}{\backslash{x-5}}} + \dfrac{7x}{x - 5} =\)

\(=\dfrac{(x+5)(x-5) + 7x}{x-5} =\)

\(=\dfrac{x^2 - 25 + 7x}{x-5} =\)

\(=\dfrac{x^2 + 7x - 25}{x - 5}\) — верно.

2) \(x + 12 + \frac{35}{x - 5}= \)

\(=\frac{x + 12}{1} ^{\color{blue}{\backslash{x-5}}} + \frac{35}{x - 5}= \)

\(=\frac{(x+12)(x-5)+35}{x - 5}= \)

\(=\frac{x^2-5x+12x-60+35}{x - 5}= \)

\(=\frac{x^2+7x-25}{x - 5} \) — верно.

3) \(-x + \dfrac{2x - 25}{x - 5} =\)

\(=\frac{-x}{1} ^{\color{blue}{\backslash{x-5}}} + \dfrac{2x - 25}{x - 5} =\)

\(=\dfrac{-x(x-5) + 2x - 25}{x-5} =\)

\(=\dfrac{-x^2 +5x +2x - 25}{x-5} = \)

\(=\dfrac{-x^2 + 7x - 25}{x-5} \) — неверно.

4) \(x + \dfrac{12x - 25}{x - 5} =\)

\(=\frac{x}{1} ^{\color{blue}{\backslash{x-5}}} + \dfrac{12x - 25}{x - 5} =\)

\(=\dfrac{x(x-5) + 12x - 25}{x-5} = \)

\(=\dfrac{x^2 -5x + 12x - 25}{x-5} =\)

\(=\dfrac{x^2 + 7x - 25}{x - 5},\) — верно.

Ответ: неверный ответ — вариант 3.

Пояснения:

1) Выражения без знаменателей сначала записываем в виде дробей со знаменателем 1, затем для сложения/вычитания дробей приводят их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель соответствующих дробей на недостающие множители. После этого выполняют действия с числителями, оставляя общий знаменатель.

2) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены. При раскрытии скобок помним следующие правила:

- умножение одночлена на многочлен:

\(a(b+c) = ab + ac\).

- умножение многочлена на многочлен:

\((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\).