Упражнение 86 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{b - c}{b} ^{\color{blue}{\backslash{b+c}}} + \frac{b}{b + c} ^{\color{blue}{\backslash{b}}} =\)

\( =\frac{(b - c)(b + c) + b^2}{b(b + c)} =\)

\(=\frac{b^2 - c^2 + b^2}{b(b + c)} = \frac{2b^2 - c^2}{b(b + c)}.\)

б) \( \frac{x + 1}{x - 2} ^{\color{blue}{\backslash{x}}} - \frac{x + 3}{x} ^{\color{blue}{\backslash{x-2}}} =\)

\( =\frac{x(x + 1)-(x-2)(x+3)}{x - 2}=\)

\(= \frac{x^2 + x - (x^2 + 3x - 2x - 6)}{x(x - 2)} =\)

\(= \frac{\cancel{x^2} + \cancel{x} - \cancel{x^2} - \cancel{3x} + \cancel{2x} + 6}{x(x - 2)} =\)

\(=\frac{6}{x(x - 2)}.\)

в) \( \frac{m}{m - n} ^{\color{blue}{\backslash{m+n}}} - \frac{n}{m + n} ^{\color{blue}{\backslash{m-n}}} =\)

\(= \frac{m(m + n) - n(m - n)}{(m - n)(m+n)} =\)

\(= \frac{m^2 + \cancel{mn} - \cancel{nm} + n^2}{m^2 - n^2} =\)

\(=\frac{m^2 + n^2}{m^2 - n^2}.\)

г) \( \frac{2a}{2a - 1} ^{\color{blue}{\backslash{2a+1}}} - \frac{1}{2a + 1} ^{\color{blue}{\backslash{2a-1}}} =\)

\(= \frac{2a(2a + 1) - (2a - 1)}{(2a - 1)(2a+1)} =\)

\(=\frac{4a^2 + \cancel{2a} - \cancel{2a} + 1}{4a^2 - 1}=\)

\(=\frac{4a^2 + 1}{4a^2 - 1}.\)

д) \( \frac{a}{a + 2} ^{\color{blue}{\backslash{a-2}}} - \frac{a}{a - 2} ^{\color{blue}{\backslash{a+2}}} =\)

\(= \frac{a(a - 2) - a(a + 2)}{(a + 2) (a - 2)} =\)

\(= \frac{\cancel{a^2} - 2a - \cancel{a^2} - 2a}{a^2 - 4} =\)

\(=\frac{-4a}{a^2 - 4} = -\frac{4a}{a^2 - 4}.\)

е) \(\frac{p}{3p - 1} ^{\color{blue}{\backslash{1+3p}}} - \frac{p}{1 + 3p} ^{\color{blue}{\backslash{3p-1}}} =\)

\(= \frac{p(1+3p) - p(3p - 1)}{(3p - 1)(3p+1)} =\)

\(= \frac{\cancel{3p^2} + p - \cancel{3p^2} + p}{9p^2 - 1} =\)

\(=\frac{2p}{9p^2 - 1}.\)

Пояснения:

Использованные правила:

1) Выражения без знаменателей сначала записываем в виде дробей со знаменателем 1, затем для сложения/вычитания дробей приводят их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель соответствующих дробей на недостающие множители. После этого выполняют действия с числителями, оставляя общий знаменатель.

2) Приведение подобных слагаемых:

\(ax+bx=(a+b)x\).

3) Раскрытие скобок:

- противоположные выражения:

\(-(a-b) = -a+b;\)

- распределительное свойство умножения:

\(k(a+b)=ka+kb.\)

4) Разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).

5) Свойство степени:

\(a^nb^b = (ab)^n\).

a) \( \frac{p}{2x+1} ^{\color{blue}{\backslash{3x-2}}} - \frac{p}{3x-2} ^{\color{blue}{\backslash{2x+1}}} =\)

\(= \frac{p(3x-2) - p(2x+1)}{(2x+1)(3x-2)} =\)

\(=\frac{3px - 2p - 2px - p}{(2x+1)(3x-2)} =\)

\(=\frac{px - 3p}{(2x+1)(3x-2)} =\)

\(=\frac{p(x - 3)}{(2x+1)(3x-2)}.\)

б) \( \frac{6a}{x - 2y} ^{\color{blue}{\backslash{}x+y}} + \frac{2a}{x + y} ^{\color{blue}{\backslash{}x-2y}} =\)

\(=\displaystyle \frac{6a(x+y) + 2a(x-2y)}{(x-2y)(x+y)} =\)

\(=\frac{6ax + 6ay + 2ax - 4ay}{(x-2y)(x+y)} =\)

\(=\frac{8ax + 2ay}{(x-2y)(x+y)} =\)

\(=\frac{2a(4x + y)}{(x-2y)(x+y)}.\)

в) \( \frac{a}{5x-10} + \frac{a}{6x-12}=\)

\(= \frac{a}{5(x-2)} ^{\color{blue}{\backslash6}} + \frac{a}{6(x-2)} ^{\color{blue}{\backslash5}} =\)

\(= \frac{6a + 5a}{30(x-2)} = \frac{11a}{30(x-2)}.\)

г) \( \frac{5b}{12a-36} - \frac{b}{48-16a}=\)

\(= \frac{5b}{12(a-3)} - \frac{b}{-16(a-3)}=\)

\(= \frac{5b}{12(a-3)} ^{\color{blue}{\backslash4}} + \frac{b}{16(a-3)} ^{\color{blue}{\backslash3}} =\)

\( = \frac{20b + 3b}{48(a-3)} = \frac{23b}{48(a-3)}.\)

Пояснения:

1)  Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

2) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены.

3) Вынесение общего множителя за скобки:

\(kx-ky=k(x-y)\);

\(kx-ky=-k(y-x)\).

4) Если числитель или знаменатель дроби заменить на противоположное выражение и при этом поменять знак перед дробью, то получится дробь, равная данной, то есть

\( \frac{A}{B} = -\frac{-A}{B} = -\frac{A}{-B}.\)