Упражнение 84 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(1 - \frac{a}{5} - \frac{b}{4} =\frac{1}{1} ^{\color{blue}{\backslash20}} - \frac{a}{5} ^{\color{blue}{\backslash4}} - \frac{b}{4} ^{\color{blue}{\backslash5}} =\)

\(= \frac{20 - 4a - 5b}{20}.\)

б) \(12 - \frac{1}{a} - \frac{1}{b} =\)

\(=\frac{12}{1} ^{\color{blue}{\backslash{ab}}} - \frac{1}{a} ^{\color{blue}{\backslash{b}}} - \frac{1}{b} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} =\)

\(=\frac{12ab - b - a}{ab}.\)

в) \(\frac{a - 2}{2} - 1 - \frac{a - 3}{3} =\)

\(=\frac{a - 2}{2} ^{\color{blue}{\backslash3}} - \frac11 ^{\color{blue}{\backslash6}} - \frac{a - 3}{3} ^{\color{blue}{\backslash2}} =\)

\(=\frac{3(a - 2) - 6 - 2(a-3)}{6}  =\)

\(=\frac{3a - 6 - \cancel{6} - 2a+\cancel{6}}{6}  =\)

\(=\frac{a - 6}{6}.\)

г) \(4a - \frac{a - 1}{4} - \frac{a + 2}{3} =\)

\(=\frac{4a}{1} ^{\color{blue}{\backslash12}} - \frac{a - 1}{4} ^{\color{blue}{\backslash3}} - \frac{a + 2}{3} ^{\color{blue}{\backslash4}} =\)

\(=\frac{48a-3(a - 1)-4(a + 2)}{12}=\)

\(=\frac{48a - 3a + 3 - 4a - 8}{12} = \frac{41a - 5}{12}.\)

д) \(\frac{a + b}{4} - a + b =\)

\(\frac{a + b}{4} - (a - b) =\)

\(\frac{a + b}{4} - \frac{a - b}{1} ^{\color{blue}{\backslash4}} =\)

\(=\frac{a + b - 4(a - b)}{4} =\)

\(=\frac{a + b - 4a + 4b}{4} = \frac{5b-3a}{4}.\)

е) \(a + b - \frac{a^2 + b^2}{a} =\)

\(=\frac{a + b}{1} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} - \frac{a^2 + b^2}{a} =\)

\(= \frac{a(a + b) - a^2 - b^2}{a} =\)

\(= \frac{\cancel{a^2} + ab - \cancel{a^2} - b^2}{a} =\)

\(=\frac{ab - b^2}{a} .\)

Пояснения:

Использованные правила:

1) Выражения без знаменателей сначала записываем в виде дробей со знаменателем 1, затем для сложения/вычитания дробей приводят их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель соответствующих дробей на недостающие множители. После этого выполняют действия с числителями, оставляя общий знаменатель.

2) Приведение подобных слагаемых:

\(ax+bx=(a+b)x\).

3) Раскрытие скобок:

- противоположные выражения:

\(-(a-b) = -a+b;\)

- распределительное свойство умножения:

\(k(a+b)=ka+kb.\)

а) \( \frac{b - c}{b} ^{\color{blue}{\backslash{b+c}}} + \frac{b}{b + c} ^{\color{blue}{\backslash{b}}} =\)

\( =\frac{(b - c)(b + c) + b^2}{b(b + c)} =\)

\(=\frac{b^2 - c^2 + b^2}{b(b + c)} = \frac{2b^2 - c^2}{b(b + c)}.\)

б) \( \frac{x + 1}{x - 2} ^{\color{blue}{\backslash{x}}} - \frac{x + 3}{x} ^{\color{blue}{\backslash{x-2}}} =\)

\( =\frac{x(x + 1)-(x-2)(x+3)}{x - 2}=\)

\(= \frac{x^2 + x - (x^2 + 3x - 2x - 6)}{x(x - 2)} =\)

\(= \frac{\cancel{x^2} + \cancel{x} - \cancel{x^2} - \cancel{3x} + \cancel{2x} + 6}{x(x - 2)} =\)

\(=\frac{6}{x(x - 2)}.\)

в) \( \frac{m}{m - n} ^{\color{blue}{\backslash{m+n}}} - \frac{n}{m + n} ^{\color{blue}{\backslash{m-n}}} =\)

\(= \frac{m(m + n) - n(m - n)}{(m - n)(m+n)} =\)

\(= \frac{m^2 + \cancel{mn} - \cancel{nm} + n^2}{m^2 - n^2} =\)

\(=\frac{m^2 + n^2}{m^2 - n^2}.\)

г) \( \frac{2a}{2a - 1} ^{\color{blue}{\backslash{2a+1}}} - \frac{1}{2a + 1} ^{\color{blue}{\backslash{2a-1}}} =\)

\(= \frac{2a(2a + 1) - (2a - 1)}{(2a - 1)(2a+1)} =\)

\(=\frac{4a^2 + \cancel{2a} - \cancel{2a} + 1}{4a^2 - 1}=\)

\(=\frac{4a^2 + 1}{4a^2 - 1}.\)

д) \( \frac{a}{a + 2} ^{\color{blue}{\backslash{a-2}}} - \frac{a}{a - 2} ^{\color{blue}{\backslash{a+2}}} =\)

\(= \frac{a(a - 2) - a(a + 2)}{(a + 2) (a - 2)} =\)

\(= \frac{\cancel{a^2} - 2a - \cancel{a^2} - 2a}{a^2 - 4} =\)

\(=\frac{-4a}{a^2 - 4} = -\frac{4a}{a^2 - 4}.\)

е) \(\frac{p}{3p - 1} ^{\color{blue}{\backslash{1+3p}}} - \frac{p}{1 + 3p} ^{\color{blue}{\backslash{3p-1}}} =\)

\(= \frac{p(1+3p) - p(3p - 1)}{(3p - 1)(3p+1)} =\)

\(= \frac{\cancel{3p^2} + p - \cancel{3p^2} + p}{9p^2 - 1} =\)

\(=\frac{2p}{9p^2 - 1}.\)

Пояснения:

Использованные правила:

1) Выражения без знаменателей сначала записываем в виде дробей со знаменателем 1, затем для сложения/вычитания дробей приводят их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель соответствующих дробей на недостающие множители. После этого выполняют действия с числителями, оставляя общий знаменатель.

2) Приведение подобных слагаемых:

\(ax+bx=(a+b)x\).

3) Раскрытие скобок:

- противоположные выражения:

\(-(a-b) = -a+b;\)

- распределительное свойство умножения:

\(k(a+b)=ka+kb.\)

4) Разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).

5) Свойство степени:

\(a^nb^b = (ab)^n\).