Упражнение 78 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

a) \(\displaystyle \frac{b}{a^2} - \frac{1}{a} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} = \frac{b - a}{a^2}.\)

б) \(\displaystyle \frac{1 - x}{x^3} + \frac{1}{x^2} ^{\color{blue}{\backslash{x}}} =\)

\(=\frac{1 - \cancel{x} + \cancel{x}}{x^3} = \frac{1}{x^3}.\)

в) \(\displaystyle \frac{1}{2a^7} ^{\color{blue}{\backslash{a^3}}} + \frac{4 - 2a^3}{a^{10}} ^{\color{blue}{\backslash2}} =\)

\(=\frac{a^3+2(4 - 2a^3)}{2a^{10}} =\)

\(=\frac{a^3 + 8 - 4a^3}{2a^{10}} = \frac{8 - 3a^3}{2a^{10}}.\)

г) \(\displaystyle \frac{a + b}{a^2} ^{\color{blue}{\backslash{b}}} + \frac{a - b}{ab} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} =\)

\(=\frac{b(a + b)+a(a - b)}{a^2b} =\)

\(=\frac{\cancel{ab} + b^2 + a^2 - \cancel{ab}}{a^2b} = \frac{a^2 + b^2}{a^2b}.\)

д) \(\displaystyle \frac{2a - 3b}{a^2b} ^{\color{blue}{\backslash{b}}} - \frac{4a - 5b}{ab^2} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} =\)

\(=\frac{b(2a - 3b)-a(4a - 5b)}{a^2b^2} =\)

\(=\frac{2ab - 3b^2 - 4a^2 + 5ab}{a^2b^2} =\)

\(=\frac{-4a^2 + 7ab - 3b^2}{a^2b^2}.\)

е) \(\displaystyle \frac{x - 2y}{x\,y^2} ^{\color{blue}{\backslash{x}}} - \frac{2y - x}{x^2y} ^{\color{blue}{\backslash{y}}} =\)

\(=\frac{x(x - 2y)-y(2y - x)}{x^2y^2} =\)

\(=\frac{x^2 - 2xy - 2y^2 + xy}{x^2y^2} =\)

\(=\frac{x^2 - xy - 2y^2}{x^2y^2}.\)

Пояснения:

1. Для сложения/вычитания дробей сначала приводят их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель соответствующих дробей на недостающие множители.

2. После этого выполняют действия с числителями, оставляя общий знаменатель.

3) Свойство степени:

\(a^ma^n = a^{m+n}\).

a) \(\displaystyle \frac{1}{ab} ^{\color{blue}{\backslash{c}}} + \frac{1}{ac} ^{\color{blue}{\backslash{b}}} + \frac{1}{bc} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} =\)

\(=\displaystyle \frac{c + b + a}{abc}.\)

б) \(\displaystyle \frac{ab - b}{a} ^{\color{blue}{\backslash{b}}} - \frac{ab - a}{b} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} - \frac{a^2 - b^2}{ab}=\)

\(=\displaystyle \frac{b(ab - b) - a(ab - a) - (a^2 - b^2)}{ab} =\)

\(=\frac{ab^2 - \cancel{b^2} - a^2b + \cancel{a^2} - \cancel{a^2} + \cancel{b^2}}{ab} =\)

\(=\frac{ab^2 - a^2b}{ab} =\frac{\cancel{ab}(b - a)}{\cancel{ab}} =\)

\(=b - a.\)

в) \(\displaystyle \frac{b - a}{ab} ^{\color{blue}{\backslash{c}}} + \frac{c - b}{bc} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} - \frac{c - a}{ac} ^{\color{blue}{\backslash{b}}} =\)

\(=\displaystyle \frac{c(b - a) + a(c - b) - b(c - a)}{abc} =\)

\(=\frac{\cancel{bc} - \cancel{ac} + \cancel{ac} - \cancel{ab} - \cancel{bc} + \cancel{ab}}{abc} =\)

\(=\frac{0}{abc} = 0.\)

г) \(\displaystyle \frac{3ab + 2b^2}{ab} - \frac{a + 2b}{a} ^{\color{blue}{\backslash{b}}} + \frac{a - 2b}{b} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} =\)

\(=\displaystyle \frac{(3ab + 2b^2) - b(a + 2b)+a(a - 2b)}{ab} =\)

\(=\displaystyle \frac{\cancel{3ab} + \cancel{2b^2} - \cancel{ab} - \cancel{2b^2}+a^2 - \cancel{2ab}}{ab} =\)

\(=\displaystyle \frac{a^{\cancel{2}}}{\cancel{a}b}=\displaystyle \frac{a}{b}.\)

Пояснения:

1. Для сложения/вычитания дробей сначала приводят их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель соответствующих дробей на недостающие множители.

2. После этого выполняют действия с числителями (приводят подобные), оставляя общий знаменатель.

3. Затем, при возможности, сокращают полученную дробь на общий множитель числителя и знаменателя.