Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№58 учебника 2023-2025 (стр. 21):
Представьте выражение в виде дроби:
а) \(\displaystyle \frac{17 - 12x}{x} - \frac{10 - x}{x}\);
б) \(\displaystyle \frac{12p - 1}{3p^2} -\frac{1 - 3p}{3p^2}\);
в) \(\displaystyle \frac{6y - 3}{5y} -\frac{y + 2}{5y}\);
г) \(\displaystyle \frac{3p - q}{5p} - \frac{2p + 6q}{5p} + \frac{p - 4q}{5p}\);
д) \(\displaystyle \frac{5c - 2d}{4c} - \frac{3d}{4c} + \frac{d - 5c}{4c}\);
е) \(\displaystyle \frac{2a}{b} - \frac{1 - 6a}{b} + \frac{13 - 8a}{b}\).
№58 учебника 2013-2022 (стр. 20):
Докажите, что:
а) выражение \(\displaystyle \frac{(a+b)^2}{ab} - \frac{(a-b)^2}{ab}\) тождественно равно 4;
б) выражение \(\displaystyle \frac{(a+b)^2}{a^2+b^2} + \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2}\) тождественно равно 2.
№58 учебника 2023-2025 (стр. 21):
Вспомните:
№58 учебника 2013-2022 (стр. 20):
Вспомните:
№58 учебника 2023-2025 (стр. 21):
а) \( \frac{17 - 12x}{x} - \frac{10 - x}{x} =\)
\(=\frac{(17 - 12x) - (10 - x)}{x} =\)
\(=\frac{17 - 12x - 10 + x}{x} =\)
\(=\frac{7 - 11x}{x}. \)
б) \( \frac{12p - 1}{3p^2} - \frac{1 - 3p}{3p^2} =\)
\(=\frac{(12p - 1) - (1 - 3p)}{3p^2} =\)
\(=\frac{12p - 1 - 1 + 3p}{3p^2} =\)
\(=\frac{15p - 2}{3p^2}. \)
в) \( \frac{6y - 3}{5y} - \frac{y + 2}{5y} =\)
\(=\frac{(6y - 3) - (y + 2)}{5y} =\)
\(=\frac{6y - 3 - y - 2}{5y} =\)
\(=\frac{5y - 5}{5y} = \frac{5(y - 1)}{5y} =\)
\(=\frac{y - 1}{y}. \)
г) \( \frac{3p - q}{5p} - \frac{2p + 6q}{5p} + \frac{p - 4q}{5p} =\)
\(=\frac{(3p - q) - (2p + 6q) + (p - 4q)}{5p} =\)
\(=\frac{3p - q - 2p - 6q + p - 4q}{5p} =\)
\(=\frac{2p - 11q}{5p}. \)
д) \( \frac{5c - 2d}{4c} - \frac{3d}{4c} + \frac{d - 5c}{4c} =\)
\(=\frac{(5c - 2d) - 3d + (d - 5c)}{4c} = \)
\(=\frac{\cancel{5c} - 2d - 3d + d - \cancel{5c}}{4c} = \)
\(=\frac{-\cancel{4}d}{\cancel{4}c} = -\frac{d}{c}. \)
е) \( \frac{2a}{b} - \frac{1 - 6a}{b} + \frac{13 - 8a}{b} =\)
\(=\frac{2a - (1 - 6a) + (13 - 8a)}{b} = \)
\(=\frac{2a - 1 - 6a + 13 - 8a}{b} = \frac{12}{b}. \)
Пояснения:
1. При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями складываются (или вычитаются) их числители, а знаменатель остаётся тем же:
\( \frac{A}{D} + \frac{B}{D} = \frac{A + B}{D},\)
\(\frac{A}{D} - \frac{B}{D} = \frac{A - B}{D}. \)
2. После получения единой дроби выполняется приведение подобных: складываются или вычитаются члены в числителе, а знаменатель остаётся прежним.
3. При необходимости дробь сокращается, где числитель и знаменатель имеют общий множитель.
№58 учебника 2013-2022 (стр. 20):
а) \( \frac{(a+b)^2}{ab} - \frac{(a-b)^2}{ab} =\)
\(=\frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{ab}= \)
\(=\frac{(a^2+2ab+b^2) - (a^2-2ab+b^2)}{ab}= \)
\(=\frac{\cancel{a^2}+2ab+\cancel{b^2} - \cancel{a^2}+2ab-\cancel{b^2}}{ab}= \)
\(=\frac{4\cancel{ab}}{\cancel{ab}}=4 \)
б) \( \frac{(a+b)^2}{a^2+b^2} + \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2} =\)
\(=\frac{(a+b)^2 + (a-b)^2}{a^2+b^2}= \)
\(=\frac{a^2+\cancel{2ab}+b^2 + a^2-\cancel{2ab}+b^2}{a^2+b^2}= \)
\( =\frac{2a^2 + 2b^2}{a^2 + b^2} = \frac{2\cancel{(a^2 + b^2)}}{\cancel{a^2 + b^2}} = 2. \)
Пояснения:
1. При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями складываются (или вычитаются) их числители, а знаменатель остаётся тем же:
\( \frac{A}{D} + \frac{B}{D} = \frac{A + B}{D},\)
\(\frac{A}{D} - \frac{B}{D} = \frac{A - B}{D}. \)
2. После получения единой дроби в числителях применяем формулы квадрата суммы и квадрата разности:
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\);
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\).
3. Затем в числителе выполняется приведение подобных: складываются или вычитаются члены в числителе, а знаменатель остаётся прежним.
4. Далее дробь сокращается на общий множитель числителя и знаменателя.
Вернуться к содержанию учебника