Упражнение 23 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)\).

б) \(16 - c^2 = (4 - c)(4 + c)\).

в) \(a^2 - 6a + 9 = (a - 3)^2\).

г) \(x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2\).

д) \(a^3 - 8 = (a - 2)(a^2 + 2a + 4)\).

е) \(b^3 + 27 = (b + 3)(b^2 - 3b + 9)\).

Пояснения:

1. Разность квадратов двух выражений (пункты а) и б)):

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).\)

2. Квадрат разности двух выражений (пункт в)):

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.\)

3. Квадрат суммы двух выражений (пункт г):

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.\)

4. Разность кубов двух выражений (пункт д)):

\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).\)

5. Сумма кубов двух выражений (пункт е)):

\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2).\)

а) \(\frac{2\!\;\cancel{x}}{3\!\;\cancel{x}} = \frac{2}{3}\) - общий множитель \(x\):

б) \(\frac{15x}{25y} = \frac{\cancel{5}\cdot3x}{\cancel{5}\cdot5y} = \frac{3x}{5y}\) - общий множитель \(5\).

в) \(\frac{6a}{24u} = \frac{\cancel{6a}}{\cancel{6a}\cdot4} = \frac{1}{4}\) - общий множитель \(6\).

г) \(\frac{7ab}{21bc} = \frac{ \cancel{7b}\cdot a}{ \cancel{7b}\cdot3c} = \frac{a}{3c}\) - общий множитель \(7b\).

д) \(\frac{-2xy}{5x^2y} = \frac{-2\!\;\cancel{xy}}{5x\!\;\cancel{xy}} = -\frac{2}{5x}\) - общие множитель \(xy\).

е) \(\frac{8x^2y^2}{24xy} = \frac{\cancel{8xy}\cdot xy}{\cancel{8xy}\cdot3} = \frac{xy}{3}\) - общие множитель \(8xy\):

Пояснения:

При сокращении дроби ищут наибольший общий множитель (числовой и буквенный), выносят его за скобки в числителе и знаменателе, а затем сокращают.

Например, если числитель и знаменатель имеют общий множитель \(d\), то \(\dfrac{d\alpha}{d\beta} = \dfrac{\alpha}{\beta}\).

В каждом случае мы выделили общий множитель, сократили дробь и получили результат с наименьшими целыми коэффициентами и степенями переменных.