Упражнение 1196 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 267

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n} \] при любом целом \(n\), \(a \ne 0\) и \(b \ne 0\).

Доказательство:

\( \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \frac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^n}=\frac{1}{\frac{a^n}{b^n}}=\)

\(= 1 : \frac{a^n}{b^n} = 1\cdot \frac{b^n}{a^n} = \frac{b^n}{a^n}= \left(\frac{b}{a}\right)^n\)

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Согласно определению степени с отрицательным показателем:

\( \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \frac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^n}\).

По свойству степени \(\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\), тогда

\(\frac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^n}=\frac{1}{\frac{a^n}{b^n}}\).

Откуда, заменив дробь делением, имеем:

\(1 : \frac{a^n}{b^n} = 1\cdot \frac{b^n}{a^n} = \frac{b^n}{a^n}= \left(\frac{b}{a}\right)^n\)