Упражнение 1183 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 264

а) Если \(x = \dfrac{1}{2}, \; n = 2\), то

\(x^n = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}\)

\(x^{-n} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2} = \left(\dfrac{2}{1}\right)^2 = 4\)

б) Если \(x = -\dfrac{1}{3}, \; n = 3\), то

\(x^n = \left(-\dfrac{1}{3}\right)^3 = -\dfrac{1}{27}\)

\(x^{-n} = \left(-\dfrac{1}{3}\right)^{-3} = \left(-3\right)^3 = -27\)

в) Если \(x = \dfrac{2}{3}, \; n = -2\), то

\(x^n = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4}\)

\(x^{-n} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{2} = \dfrac{4}{9}\)

г) Если \(x = -1{,}5, \; n = 3\), то

\(x^n = (-1{,}5)^3 = (-\dfrac{3}{2})^3 =\)

\(=-\dfrac{27}{8}= -3\dfrac{3}{8}\)

\(x^{-n} = (-1{,}5)^{-3} = (-\dfrac{3}{2})^{-3} = \)

\(=(-\dfrac{2}{3})^{3} = -\dfrac{8}{27} \)

Пояснения:

Основные правила:

\( a^{-n} = \frac{1}{a^n},\)

\(\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n = \frac{b^n}{a^n}\).

1. Показатель со знаком «−» означает, что нужно взять обратное число к степени с положительным показателем.

2. Если основание отрицательное, знак результата зависит от чётности степени: при нечётной — минус, при чётной — плюс.

3. Для дробных оснований с отрицательными степенями выполняется обращение дроби: \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^n.\)

Таким образом, каждая пара значений \(x^n\) и \(x^{-n}\) связана обратной зависимостью: одно — дробное, другое — его обратное число.