Упражнение 971 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник
Старая и новая редакции
Вернуться к содержанию учебника
Вопрос
Выберите год учебника
№971 учебника 2023-2025 (стр. 215):
Решите графически уравнение \(\frac{12}{x} = x^2\).
№971 учебника 2013-2022 (стр. 216):
Сравните с нулём значение степени:
а) \(9^{-5}\); б) \(2{,}6^{-4}\);
в) \((-7{,}1)^{-6}\); г) \((-3{,}9)^{-3}\).
Подсказка
№971 учебника 2023-2025 (стр. 215):
Вспомните:
- График обратной пропорциональности (гипербола).
- Положение точек на координатной плоскости.
- Деление и дроби.
- Деление рациональных чисел.
- График квадратичной функции (парабола).
- Степень с натуральным показателем.
№971 учебника 2013-2022 (стр. 216):
Вспомните:
- Степень с целым отрицательным показателем.
- Степень с натуральным показателем.
- Сравнение рациональных чисел.
- Четные и нечетные числа.
Ответ
№971 учебника 2023-2025 (стр. 215):
\(\frac{12}{x} = x^2\).
\(y= \frac{12}{x}\)
| \(x\) | 12 | 6 | 4 | 3 | 2 | 1 |
| \(y\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 12 |
| \(x\) | -12 | -6 | -4 | -3 | -2 | -1 |
| \(y\) | -1 | -2 | -3 | -4 | -6 | -12 |
\(y = x^2\)
| \(x\) | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| \(y\) | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
Ответ: \(x \approx 2,3\).
Пояснения:
Чтобы решить графически уравнение \(\displaystyle \frac{12}{x} = x^2\), нужно найти точки пересечения двух графиков:
\(y=\frac{12}{x}\) и \(y = x^2\), где
\(y= \frac{12}{x}\) - функция обратной пропорциональности, графиком является гипербола (две ветви, расположенные в I и III координатных четвертях, так как \(k=12 >0\)). Строят график по точкам (для нескольких положительных и нескольких отрицательных значений \(x\) определяют значения \(y\)).
\(y = x^2\) - квадратичная функция, графиком которой является парабола. Строят график по точкам (для нескольких положительных и нескольких отрицательных значений \(x\) определяют значения \(y\)).
Решением уравнения являются значения координаты \(x\) для точек пересечения графиков.
№971 учебника 2013-2022 (стр. 216):
а) \(9^{-5} = \dfrac{1}{9^5} > 0\).
б) \(2{,}6^{-4} = \dfrac{1}{2{,}6^4} > 0\).
в) \((-7{,}1)^{-6} = \dfrac{1}{(-7{,}1)^6} = \dfrac{1}{7{,}1^6} > 0\).
г) \((-3{,}9)^{-3} = \dfrac{1}{(-3{,}9)^3} = \dfrac{1}{-3{,}9^3} =\)
\(=-\dfrac{1}{3{,}9^3} < 0\).
Пояснения:
Основные правила знака степени:
1. Если основание положительное (\(a > 0\)), то при любом показателе \(a^n > 0\).
2. Если основание отрицательное (\(a < 0\)) и показатель степени чётный, то результат положителен:
\[ (-a)^{2n} > 0. \]
3. Если основание отрицательное, а показатель нечётный, то результат отрицателен:
\[ (-a)^{2n+1} < 0. \]
4. Отрицательная степень не влияет на знак числа, а только делает результат дробным:
\[ a^{-n} = \frac{1}{a^n}. \]
Поэтому для положительных оснований и чётных степеней результат всегда положительный, а для отрицательных оснований с нечётной степенью — отрицательный.
Вернуться к содержанию учебника