Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№968 учебника 2023-2025 (стр. 215):
Туристы отправились на моторной лодке по течению реки и должны вернуться обратно к стоянке не позднее чем через 3 ч. На какое расстояние могут отъехать туристы, если скорость течения реки 2 км/ч, а скорость лодки в стоячей воде 18 км/ч?
№968 учебника 2013-2022 (стр. 215):
Вычислите:
а) \(4^{-2}\); б) \((-3)^{-3}\); в) \((-1)^{-9}\);
г) \((-1)^{-20}\); д) \(\left(\dfrac{1}{7}\right)^{-2}\);
е) \(\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{-3}\); ж) \(\left(1\dfrac{1}{2}\right)^{-5}\);
з) \(\left(-2\dfrac{2}{5}\right)^{-2}\); и) \(0{,}01^{-2}\); к) \(1{,}125^{-1}\).
№968 учебника 2023-2025 (стр. 215):
Вспомните:
№968 учебника 2013-2022 (стр. 215):
Вспомните:
№968 учебника 2023-2025 (стр. 215):
Пусть расстояние, на которое могут отъехать туристы \(x\) км.
Скорость лодки по течению:
\(18 + 2 = 20\) (км/ч).
Скорость лодки против течения:
\(18 - 2 = 16\) (км/ч).
Время на путь по течению: \(\frac{x}{20}\) ч.
Время в путь против течения: \(\frac{x}{16}\) ч.
Известно, что общее время в пути должно быть не более 3 ч.
Составим неравенство:
\(\frac{x}{20} + \frac{x}{16} \leq 3\) \(/\times 80\)
\(4x + 5x \leq 240\)
\(9x \leq 240\) \(/ : 9\)
\(x \leq \frac{240}{9}\)
\(x \leq \frac{80}{3}\)
\(x \leq 26\frac{2}{3}\)
Ответ: туристы могут отъехать на расстояние не более \( 26\frac{2}{3}\) км.
Пояснения:
При решении задачи учитывается, что скорость лодки относительно берега изменяется из-за течения реки:
- по течению: \(v_{лодки} + v_{течения}\);
- против течения: \(v_{лодки} - v_{течения}\).
Время движения рассчитывается по формуле:
\[t = \frac{s}{v},\]
где \(s\) — путь, \(v\) — скорость.
Так как общее время движения ограничено 3 часами, составили неравенство:
\[\frac{x}{20} + \frac{x}{16} \leq 3.\]
Если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство. Поэтому, домножив обе части неравенства на общий знаменатель дробей 80, избавились от знаменателей:
\(4x + 5x \leq 240\),
\(9x \leq 240\).
Если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство. Разделив обе части неравенства на 9, получили \(x \leq 26\frac{2}{3}\).
Следовательно, туристы могут отъехать на расстояние не более \( 26\frac{2}{3}\) км.
№968 учебника 2013-2022 (стр. 215):
а) \(4^{-2} = \dfrac{1}{4^2} = \dfrac{1}{16}\);
б) \((-3)^{-3} = \dfrac{1}{(-3)^3} = \dfrac{1}{-27} = -\dfrac{1}{27}\);
в) \((-1)^{-9} = \dfrac{1}{(-1)^9} = \dfrac{1}{-1} = -1\);
г) \((-1)^{-20} = \dfrac{1}{(-1)^{20}} = \dfrac{1}{1} = 1\);
д) \(\left(\dfrac{1}{7}\right)^{-2} = 7^2 = 49\);
е) \(\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{-3} = \left(-\dfrac{3}{2}\right)^3 = -\dfrac{27}{8}=\)
\(=-3\dfrac{3}{8}\);
ж) \(\left(1\dfrac{1}{2}\right)^{-5} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{-5} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^5 =\)
\(=\dfrac{32}{243}\);
з) \(\left(-2\dfrac{2}{5}\right)^{-2} = \left(-\dfrac{12}{5}\right)^{-2} =\)
\(=\left(-\dfrac{5}{12}\right)^2 = \dfrac{25}{144}\);
и) \(0{,}01^{-2} =\left(\dfrac{1}{100}\right)^{-2} = (100)^{2} =\)
\(=10000\);
к) \(1{,}125^{-1} =\left(\dfrac{1125}{1000}\right)^{-1}=\dfrac{1000}{1125} =\)
\(=\dfrac{8}{9} \).
Пояснения:
Основные свойства отрицательных степеней:
\( a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \)
\(\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n = \frac{b^n}{a^n}\).
При возведении отрицательного числа в четную степень результат получается положительным числом.
Вернуться к содержанию учебника