Упражнение 500 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{y + b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}}=\frac{(y + b\sqrt{y})\sqrt{y}}{b\sqrt{y}\,\sqrt{y}} =\)

\(=\frac{y\sqrt{y} + b y}{b y} = \frac{\cancel y(\sqrt{y} + b)}{b \cancel y}=\)

\(=\frac{(\sqrt{y} + b)}{b}.\)

б) \( \frac{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}} =\)

\(=\frac{(a\sqrt{b} + b\sqrt{a})\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}\cdot\sqrt{ab}} =\)

\(=\frac{a\sqrt{b}\,\sqrt{ab} + b\sqrt{a}\,\sqrt{ab}}{ab}= \)

\(=\frac{ab\sqrt{a} + ab\sqrt{b}}{ab}= \)

\(=\frac{\cancel{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\cancel{ab}}= \sqrt{a} + \sqrt{b}.\)

в) \( \frac{2 - 3\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=\frac{(2 - 3\sqrt{2})\sqrt{2}}{4\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} =\)

\(=\frac{2\sqrt{2} - 3\cdot2}{4\cdot2} =\frac{2\sqrt{2} - 6}{8} =\)

\(=\frac{\cancel2(\sqrt{2} - 3)}{\cancel8_4}=\frac{\sqrt{2} - 3}{4}. \)

Пояснения:

Использованные приёмы и правила:

- Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножают числитель и знаменатель на подходящий корень, тем самым в знаменателе получается произведение корня на себя, равное подкоренному выражению.

- Свойства корня:

\(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = x\);

\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}\).

- Вынесение общего множителя за скобки:

\(ac+bc = c(a+b)\).

- Сокращение дробей:

\(\frac{ka}{kb} = \frac{a}{b}\).

а) \( \frac{1}{11-2\sqrt{30}} ^{\color{blue}{\backslash{11+2\sqrt{30}}}} - \frac{1}{11+2\sqrt{30}} ^{\color{blue}{\backslash{11-2\sqrt{30}}}} =\)

\(=\frac{(11+2\sqrt{30}) - (11-2\sqrt{30})}{(11-2\sqrt{30})(11+2\sqrt{30})} =\)

\(=\frac{\cancel{11}+2\sqrt{30} - \cancel{11}+2\sqrt{30}}{11^2 - (2\sqrt{30})^2} =\)

\(= \frac{4\sqrt{30}}{121 - 4\cdot30} =\frac{4\sqrt{30}}{121 - 120} =\)

\(=\frac{4\sqrt{30}}{1}=4\sqrt{30}. \)

б) \( \frac{5}{3+2\sqrt2} ^{\color{blue}{\backslash{3-2\sqrt2}}} + \frac{5}{3-2\sqrt2} ^{\color{blue}{\backslash{3+2\sqrt2}}} =\)

\(=\frac{5(3-2\sqrt2)+5(3+2\sqrt2)}{(3+2\sqrt2)(3-2\sqrt2)} =\)

\(=\frac{15-\cancel{10\sqrt2}+15+\cancel{10\sqrt2}}{3^2-(2\sqrt2)^2} =\)

\(=\frac{30}{9 - 4\cdot2}=\frac{30}{9 - 8} =\frac{30}{1}= 30. \)

в) \( \frac{\sqrt5-\sqrt3}{\sqrt5+\sqrt3} ^{\color{blue}{\backslash{\sqrt5-\sqrt3}}} +\frac{\sqrt5+\sqrt3}{\sqrt5-\sqrt3} ^{\color{blue}{\backslash{\sqrt5+\sqrt3}}} =\)

\(=\frac{(\sqrt5-\sqrt3)^2+ (\sqrt5+\sqrt3)^2}{(\sqrt5-\sqrt3)(\sqrt5+\sqrt3)} =\)

\(=\frac{(\sqrt5)^2-2\cdot\sqrt5\cdot\sqrt3 +(\sqrt3)^2+(\sqrt5)^2+2\cdot\sqrt5\cdot\sqrt3 +(\sqrt3)^2}{(\sqrt5)^2-(\sqrt3} =\)

\(=\frac{5-\cancel{2\sqrt{15}} +3+5+\cancel{2\sqrt{15}} +3}{5-3} =\)

\(=\frac{16}{2} = 8\).

г) \( \frac{11+\sqrt{21}}{11-\sqrt{21}} ^{\color{blue}{\backslash{11+\sqrt{21}}}} +\frac{11-\sqrt{21}}{11+\sqrt{21}} ^{\color{blue}{\backslash{11-\sqrt{21}}}} =\)

\( =\frac{(11+\sqrt{21})^2+(11-\sqrt{21})^2}{(11-\sqrt{21})(11+\sqrt{21})} =\)

\( =\frac{11^2+2\cdot11\cdot\sqrt{21} + (\sqrt{21})^2+11^2-2\cdot11\cdot\sqrt{21} + (\sqrt{21})^2}{11^2-(\sqrt{21})^2} =\)

\( =\frac{121+\cancel{22\sqrt{21}} +21+121-\cancel{22\sqrt{21}} + 21}{121 -21} =\)

\(=\frac{284}{100} = 2,84\).

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1. Для дробей вида \(\frac1{a} \pm \frac1{b}\) удобно брать общий знаменатель \((a b)\) и складывать/вычитать числители.

2. Разность квадратов:

\((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).

3. Квадрат суммы и квадрат разности:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

4. Свойства корня и степени:

\((\sqrt{x})^2 = x\);

\((k\sqrt{x})^2 = k^2x\).