Упражнение 501 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{x - \sqrt{xy} + y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} =\)

\(=\frac{(x - \sqrt{xy} + y)(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})} =\)

\(=\frac{(\sqrt{x})^3+(\sqrt{y})^3}{(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2}=\)

\(=\frac{(\sqrt{x})^2\sqrt{x}+(\sqrt{y})^2\sqrt{y}}{x - y}= \)

\(=\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{x - y}\).

б) \( \frac{9 + 3\sqrt{a} + a}{3 + \sqrt{a}} =\)

\(=\frac{(9 + 3\sqrt{a} + a)(3 - \sqrt{a})}{(3 + \sqrt{a})(3 - \sqrt{a})} =\)

\(=\frac{3^3 - (\sqrt{a})^3}{3^2 - (\sqrt{a})^2}=\)

\(=\frac{27 - (\sqrt{a})^2\cdot\sqrt{a}}{9 - a}= \)

\(=\frac{27 - a\sqrt{a}}{9 - a} \).

в) \( \frac{1 - 2\sqrt{x} + 4x}{1 - 2\sqrt{x}}= \)

\(=\frac{(1 - 2\sqrt{x} + 4x)(1 + 2\sqrt{x})}{(1 - 2\sqrt{x})(1 + 2\sqrt{x})} =\)

\(=\frac{1^3 + (2\sqrt{x})^3}{1 - 4x}=\frac{1 + 8(\sqrt{x})^3}{1 - 4x}= \)

\(=\frac{1 + 8(\sqrt{x})^2\sqrt{x}}{1 - 4x}= \frac{1 + 8x\sqrt{x}}{1 - 4x}\).

г) \( \frac{a^2b+2a\sqrt{b}+4}{a\sqrt{b}+2}=\)

\( =\frac{(a^2b+2a\sqrt{b}+4)(a\sqrt{b}-2)}{(a\sqrt{b}+2)(a\sqrt{b}-2)}=\)

\( =\frac{(a\sqrt{b})^3-2^3}{(a\sqrt{b})^2-2^2}=\frac{a^3(\sqrt{b})^3-8}{a^2(\sqrt{b})^2-4}=\)

\(=\frac{a^3(\sqrt{b})^2\sqrt b-8}{a^2b-4}=\frac{a^3b\sqrt b-8}{a^2b-4}\)

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

1. Чтобы избавиться от иррациональности (корней) в знаменателе, умножают числитель и знаменатель на такое выражение, которое вместе с выражением, стоящим в знаменателе, образует разность квадратов:

\((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\);

\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\).

2. Сумма и разность кубов двух выражений:

\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\);

\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\).

3. Свойства корня:

\(\sqrt{ab} = \sqrt{a}{b}\);

\((\sqrt{x})^2 = x\);

\(k\sqrt{k}=(\sqrt{k})^3\).

4. Свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).

\(\frac{x^2 - 3xy + y^2}{x + y + 2}\)

Если \(x = 3 + \sqrt5\) и \(y = 3 - \sqrt5\), то

\(\frac{(3 + \sqrt5)^2 - 3(3 + \sqrt5)(3 - \sqrt5) + (3 - \sqrt5)^2}{(3 + \sqrt5) + (3 - \sqrt5) + 2}=\)

\(=\frac{3^2 + 2\cdot3\cdot\sqrt5 + (\sqrt5)^2 - 3(3^2 - (\sqrt5)^2) + 3^2 - 2\cdot3\cdot\sqrt5 + (\sqrt5)^2}{(3 + \sqrt5) + (3 - \sqrt5) + 2}=\)

\(=\frac{9 + \cancel{6\sqrt5} + 5 - 3(9 - 5) + 9 - \cancel{6\sqrt5} + 5}{3 + \cancel{\sqrt5} + 3 - \cancel{\sqrt5} + 2}=\)

\(=\frac{9 + 5 - 12 + 9 + 5}{3 + 3 + 2}=\frac{16}{8}=2\)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1. Чтобы найти значение выражения вместо переменных \(x\) и \(y\) подставляем, соответствующие им значения, и выполняем преобразования.

2. Разность квадратов:

\((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).

3. Квадрат суммы и квадрат разности:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

4. Свойства корня и степени:

\((\sqrt{x})^2 = x\);

\((k\sqrt{x})^2 = k^2x\).