Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№470 учебника 2023-2025 (стр. 109):
Найдите значение корня:
а) \(\displaystyle \sqrt{\frac{165^2 - 124^2}{164}};\)
б) \(\displaystyle \sqrt{\frac{98}{176^2 - 112^2}};\)
в) \(\displaystyle \sqrt{\frac{149^2 - 76^2}{457^2 - 384^2}};\)
г) \(\displaystyle \sqrt{\frac{145{,}5^2 - 96{,}5^2}{193{,}5^2 - 31{,}5^2}}.\)
№470 учебника 2013-2022 (стр. 110):
При каких значениях \(a\) и \(b\) имеет смысл выражение:
а) \(\sqrt{ab}\);
б) \(\sqrt{-ab}\);
в) \(\sqrt{a^2b}\);
г) \(\sqrt{a^2b^2}\);
д) \(\sqrt{-ab^2}\);
е) \(\sqrt{-a^2b^2}\)?
№470 учебника 2023-2025 (стр. 109):
Вспомните:
№470 учебника 2013-2022 (стр. 110):
Вспомните:
№470 учебника 2023-2025 (стр. 109):
а) \( \sqrt{\frac{165^2 - 124^2}{164}}=\)
\(=\sqrt{\frac{(165-124)(165+124)}{164}}=\)
\(=\sqrt{\frac{^1\cancel{41}\cdot289}{\cancel{164}_4}}=\sqrt{\frac{289}{4}}=\)
\(=\frac{17}{2} = 8,5.\)
б) \( \sqrt{\frac{98}{176^2 - 112^2}}=\)
\(= \sqrt{\frac{98}{(176-112)(176+112)}}=\)
\(= \sqrt{\frac{\cancel{98} ^{49}}{64\cdot\cancel{288}_{144}}}= \sqrt{\frac{49}{64\cdot144}}=\)
\(= \frac{7}{8\cdot12}=\frac{7}{96}\).
в) \( \sqrt{\frac{149^2 - 76^2}{457^2 - 384^2}}=\)
\( =\sqrt{\frac{(149-76)(149+76)}{(457-384)(457+384)}}=\)
\( =\sqrt{\frac{\cancel{73}\cdot225}{\cancel{73}\cdot841}}=\sqrt{\frac{225}{841}}=\frac{15}{29}\)
г) \( \sqrt{\frac{145{,}5^2 - 96{,}5^2}{193{,}5^2 - 31{,}5^2}}=\)
\(= \sqrt{\frac{(145{,}5-96{,}5)(145{,}5+96{,}5)}{(193{,}5-31{,}5)(193{,}5+31{,}5)}}=\)
\(= \sqrt{\frac{49\cdot\cancel{242} ^{121}}{_{81} \cancel{162}\cdot225}}=\sqrt{\frac{49\cdot121}{81\cdot225}}=\)
\(=\frac{7\cdot11}{9\cdot15} = \frac{77}{135}\)
Пояснения:
Использованные приемы:
— Разность квадратов:
\(a^2 - b^2=(a-b)(a+b)\).
— Сокращение дробей:
\(\frac{ka}{kb} = \frac{a}{b}\).
— Свойство корня из дроби:
\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\).
— Свойство корня из произведения:
\(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\).
№470 учебника 2013-2022 (стр. 110):
а) \(\sqrt{ab}\)
\(ab \ge 0\), если \(a\ge0\) и \(b\ge0\),
либо \(a\le0\) и \(b\le0\).
б) \(-\sqrt{ab}\)
\(-ab \ge 0\)
\(ab \le 0\), если \(a\ge0\) и \(b\le0\),
либо \(a\le0\) и \(b\ge0\).
в) \(\sqrt{a^2b}\)
\(a^2b \ge 0\), если \(b\ge0\) и \(a\) - любое число.
г) \(\sqrt{a^2b^2}\)
\(a^2b^2 \ge 0\) при любых \(a\) и \(b\).
д) \(\sqrt{-ab^2}\)
\(-ab^2 \ge 0\)
\(ab^2 \le 0\), если
\(a\le 0\), а \(b\) - любое число,
или \(b=0\), а \(a\) - любое число.
е) \(\sqrt{-a^2b^2}\)
\(-a^2b^2 \ge 0\)
\(a^2b^2 \le 0\) при \(a=0\) или \(b=0\).
Пояснения:
1) Для выражения \(\sqrt{a}\) требуется \(a\ge0\).
2) Квадрат любого числа неотрицателен:
\(x^2\ge0\) для всех \(x\).
3) При произведении \(\sqrt{ab}\) знак подкоренного зависит от знаков \(a\) и \(b\).
4) В случае \(\sqrt{-ab^2}\) знак определяется знаком \(a\), поскольку \(b^2\ge0\).
5) Для \(\sqrt{-a^2b^2}\) подкоренное выражение равно нулю только если хотя бы один множитель равен нулю.
Вернуться к содержанию учебника