Упражнение 468 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\sqrt{x} = x + b\)

\(y = \sqrt{x}\) - ветвь параболы в I  четверти.

\(y=x + b\) - прямая

Если \(b > 0\), то уравнение не имеет корней.

Если \(b = 0\), то уравнение имеет два корня.

Если \(b < 0\), то уравнение имеет один корень.

б) \(\sqrt{x} = -x + b\)

\(y = \sqrt{x}\) - ветвь параболы в I  четверти.

Если \(b > 0\), то уравнение имеет один корень.

Если \(b = 0\), то уравнение имеет один корень.

Если \(b < 0\), то уравнение не имеет корней.

Пояснения:

Функция \(y=\sqrt{x}\) определена при \(x\ge0\). Графиком является ветвь параболы, расположенная в I координатной четверти. Строим по точкам.

Графиком функции \(y = kx+b\) является прямая. Если \(k > 0\), то прямая возрастает. Если \(k < 0\), то прямая убывает. Коэффициент \(b\) отвечает за точку пересечения с осью \(y\).

Чтобы определить количество корней уравнения, достаточно определить количество точек пересечения графиков функций, стоящих в левой и правой частях уравнения.

При одинаковом значении \(k\) и различных \(b\) прямые будут параллельны, поэтому рассматриваем три случая:

1) \(b > 0\);

2) \(b = 0\);

3) \(b < 0\).

а) \(x^2 = 4\)

\(x_1 = -\sqrt{4}\)   и   \(x_2 = \sqrt{4}\)

\(x_1 = -2\)            \(x_2 = 2\)

б) \(x^2 = 3\)

\(x_1 = -\sqrt{3}\)   и   \(x_2 = \sqrt{3}\)

в) \(x^2 = -1\)

\(-1 < 0\), поэтому корней нет.

Пояснения:

Общий способ решения уравнения вида \(x^2 = a\): если \(a \ge 0\), то

\(x_1 = -\sqrt{a}\)   и   \(x_2 = \sqrt{a}\)

Если \(a<0\), то уравнение \(x^2 = a\) не имеет корней.