Упражнение 1200 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( (a-1)x = 12 \)

\( x = \frac{12}{a - 1} \)

Если \(a=1\), то

\( x = \frac{12}{1-1} = \frac{12}{0} \) - не существует.

Если \(a=2\), то

\( x = \frac{12}{2-1} = \frac{12}{1} = 12\) - натуральное.

Если \(a=3\), то

\( x = \frac{12}{3-1} = \frac{12}{2} = 6\) - натуральное.

Если \(a=4\), то

\( x = \frac{12}{4-1} = \frac{12}{3} = 4\) - натуральное.

Если \(a=5\), то

\( x = \frac{12}{5-1} = \frac{12}{4} = 3 \) - натуральное.

Если \(a=6\), то

\( x = \frac{12}{6-1} = \frac{12}{5} =2\frac{2}{5} \) - не является натуральным.

Если \(a=7\), то

\( x = \frac{12}{7-1} = \frac{12}{6} = 2 \) - натуральное.

Если \(a=8\), то

\( x = \frac{12}{8-1} = \frac{12}{7} =1\frac{5}{7}\) - не является натуральным.

Если \(a=9\), то

\( x = \frac{12}{9-1} = \frac{12}{8} = 1\frac{4}{8} \) - не является натуральным.

Если \(a=13\), то

\( x = \frac{12}{13-1} = \frac{12}{12} = 1 \) - натуральное.

Если \(a > 13\), то

\( x = \frac{12}{a - 1} \) - правильная дробь.

Ответ: \(a = 2,3,4,5,7,13.\)

Пояснения:

– Подстановка каждого натурального \(a\) в формулу \( x = \frac{12}{a - 1} \) позволяет проверить, является ли \(x\) натуральным.

а) \(y + \lvert y\rvert = x\)

Если \(y \ge 0\), то

\(y + y = x \)

\(2y = x \)

\(y = \frac{1}{2}x\)

Если \(y < 0\), то

\( y - y = x \)

\( x = 0\)

б) \(y = x\,\lvert y\rvert\)

Если \(y \ge 0\), то

\( y = x\,y \)

\(y - x\,y = 0 \)

\(y(1 -  x) = 0 \)

1) \(y = 0\) - ось \(x\).

2) \(x - 1 = 0\),

\(x = 1\) - часть вертикальной прямой при \(y\ge0\).

Если \(y < 0\), то

\( y = x\cdot(-y)\),

\(y = -xy\),

\(y + x\,y = 0 \)

\( y(1 + x) = 0 \)

\(y = 0\) - не удовлетворяет условию \(y<0\).

\(1 + x = 0\),

\(x=-1\) - часть вертикальной прямой при \(y<0\).

Пояснения:

– В обоих уравнениях разбиваем по знаку \(y\), раскрывая \(\lvert y\rvert\).

– Получаем несколько линейных ветвей (прямых или лучей), каждая действительна при своём значении \(y\).

– График строится объединением этих ветвей.

а) Рассмотрим два случая по знаку \(y\):

1) Если \(y \ge 0\), то \(\lvert y\rvert = y\), и уравнение примет вид:

\( y + y = x \),

\(x = 2y \)

\(y = \tfrac{1}{2}x\) - прямая для точек с \(y\ge0\), что выполняется при \(x\ge0\).

2) Если \(y < 0\), то \(\lvert y\rvert = -y\), и уравнение примет вид:

\( y - y = x \),

\( x = 0\) - часть оси \(y\) при \(y<0\).

б) Рассмотрим два случая:

1) Если \(y \ge 0\), то \(\lvert y\rvert = y\), и уравнение примет вид:

\(y = x\,y. \)

\(y - x\,y = 0 \)

\(y(1 -  x) = 0 \)

\(y = 0\) - ось \(x\).

\(x - 1 = 0\),

\(x = 1\) -  часть вертикальной прямой для точек с \(y\ge0\).

Если \(y < 0\), то \(\lvert y\rvert = -y\), и уравнение примет вид:

\( y = x\cdot(-y)\),

\(y = -xy\),

\(y + x\,y = 0 \)

\( y(1 + x) = 0 \)

\(y = 0\) - не удовлетворяет условию \(y<0\).

\(1 + x = 0\),

\(x=-1\) - часть вертикальной прямой для точек с \(y<0\).