Упражнение 1202 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть \(a\), \(b\), \(c\) первые три цифры числа. Тогда шестизначное число имеет вид:

\(\overline{abc\,abc}. \)

\(\overline{abc\,abc} = 100000a + 10000b + 1000c + 100a + 10b + c=\)

\(= (100000 + 100)a + (10000 + 10)b + (1000 + 1)c = \)

\(= 100 100a + 10 010b + 1001c = \)

\(=1001\cdot(100a + 10b + c)= \)

\(=7\cdot11\cdot13\cdot(100a + 10b + c) =\)

\(=7\cdot11\cdot13\cdot\overline{abc}\)  - кратно 7, 11 и 13.

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

– Шестизначное число \(\overline{abc\,abc}\) равняется \(1001abc.\)

– Число 1001 раскладывается на простые множители как \(7\cdot11\cdot13.\)

– Любое число, умноженное на 1001, будет кратно одновременно 7, 11 и 13.

Пусть \( n = 2^x \,3^y \) — наименьшее натуральное число с указанными свойствами.

Так как \(2n = 2^{x+1}3^y\) должно быть полным квадратом, показатели при всех простых должны быть чётными. Значит

\( x + 1 \text{ чётно,} \quad y \text{ чётно.} \)

Так как \(3n = 2^x3^{y+1}\) должно быть полным кубом, показатели при всех простых должны делиться на 3. Значит

\( x \;\text{делится на 3,} \quad y + 1 \;\text{делится на 3.} \)

Ищем наименьшие неотрицательные решения для \(x\) и \(y\):

– \(x\) чётность: \(x+1\) чётно, значит, \(x\) нечётно; и одновременно \(x\) кратно 3, тогда минимальное \(x = 3\).

– \(y\) чётно и одновременно \(y + 1\) кратно 3, тогда минимальное \(y = 2\).

\[ n = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72. \]

Проверка:

\(2n = 144 = 12^2,\quad 3n = 216 = 6^3.\)

Пояснения:

– Для «\(2n\) — квадрат» все показатели в разложении на простые должны быть чётны.

– Для «\(3n\) — куб» все показатели должны делиться на 3.

– Решение даёт единственный минимальный набор показателей \(x=3\), \(y=2\).