Упражнение 1193 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть \(x\) (ч) автомобиль ехал со скоростью 40 км/ч, и \(y\) (ч) — со скоростью 60 км/ч. Известно, что автомобиль проделал путь за 8 ч и весь этот путь он мог бы проехать за то же время, если бы ехал со скоростью 45 км/ч.

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} x + y = 8,\\ 40x + 60y = 45\cdot8 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x = 8 - y,\\ 40(8 - y) + 60y = 360 \end{cases} \)

\(40(8 - y) + 60y = 360\)

\(320 - 40y + 60y = 360\)

\(20y = 360 - 320\)

\(20y = 40\)

\(y = \frac{40}{20}\)

\(y = 2 \)

\(x = 8 - 2 = 6\)

Ответ: автомобиль ехал 6 ч со скоростью 40 км/ч и 2 ч со скоростью 60 км/ч.

Пояснения:

– Обозначения: \(x\) и \(y\) — время в часах на участках с разными скоростями.

– Формула пути для каждого участка: \(S = v\,t\).

– Сумма времён даёт общее время: \(x + y = 8\).

– Сумма дистанций равна общей длине пути: \(40x + 60y = 360\).

– Решение системы линейных уравнений методом подстановки:

• из одного уравнения выражаем одну переменную через другую;
• подставляем это выражение в другое уравнение, получая уравнение с одной переменной;
• решаем полученное уравнение, находим значение первой переменной;
• затем вычисляем вторую переменную, подставляя найденное значение обратно.

Пусть \(x\) — десятки двузночного числа, \(y\) - единицы. Тогда двузначное число \(\overline{xy} = 10x+y\), а сумма его цифр — \(x+y\).

Составим уравнение:

\( 10x + y = 4(x+y) \)

\( 10x + y = 4x + 4y \)

\(6x = 3y \)

\(2x = y. \)

Если \(x = 1\), то \(y = 2\cdot1 = 2\).

Если \(x = 2\), то \(y = 2\cdot2 = 4\).

Если \(x = 3\), то \(y = 2\cdot3 = 6\).

Если \(x = 4\), то \(y = 2\cdot4 = 8\).

Если \(x = 5\), то \(y = 2\cdot5 = 10\) - не подходит.

Ответ: двузначные числа 12, 24, 36, 48.

Пояснения:

– Запись числа через цифры: \(10x+y\).

– Сумма цифр: \(x+y\).

– Линейное уравнение сводится к соотношению между цифрами: \(2x=y\).

– Ограничение на цифры:

\(x\) - цифры от 1 до 9;

\(y\) - цифры от 0 до 9 даёт четыре решения (12, 24, 36, 48).