Упражнение 1058 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть  \(x\) - неполное частное при делении числа на 5,

\(y\) - неполное частное при делении  числа на 6.

Тогда  \(5x + 1\) и \(6y + 2\) - искомое число.

Составим уравнение:

\(5x + 1 = 6y + 2;\)

Откуда:

\( 6y = 5x + 1 - 2;\)

\(6y = 5x - 1;\)

\(y = \frac{5x - 1}{6}. \)

Переберём целые \(x\ge0\):

Если \(x=0\), то \( y=\frac{5\cdot0-1}{6}=-\frac{1}{6}\) — нецелое;

Если \(x=1\), то \(y=\frac{5\cdot1-1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\) — нецелое;

Если \(x=2\), то \(y=\frac{5\cdot2-1}{6}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\) — нецелое;

Если \(x=3\), то \(y=\frac{5\cdot3-1}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}\) — нецелое;

Если \(x=4\), то \(y=\frac{5\cdot4-1}{6}=\frac{19}{6}\) — нецелое;

Если \(x=5\), то \(y=\frac{5\cdot5-1}{6}=\frac{24}{6}=4\) — целое.

Значит, наименьшее решение даётся при \(x=5\), \(y=4\), и число равно

\(5x+1 = 5\cdot5 + 1 = 26.\)

Ответ: искомое число равно 26.

Пояснения:

– Мы ввели параметры \(x\) и \(y\), где \(x\) определяет неполное частное при делении на 5, а \(y\) — при делении на 6.

– Представление числа в виде \(5x+1\) следует из условия «остаток 1 при делении на 5».

– Условие «остаток 2 при делении на 6» даёт уравнение \(5x+1=6y+2\).

– Решая это уравнение, перенесли свободные члены и разделили на 6, чтобы выразить \(y\) через \(x\).

– Подстановка \(x=0,1,2,\dots\) помогает найти первое целое значение \(y\).

– При каждом шаге вычисляли дробное значение и проверяли целостность.

– Как только нашли \(y=4\) при \(x=5\), остановились, так как дальше получатся более крупные числа.

– Окончательный ответ: наименьшее натуральное число — 26.

а)  \( \begin{cases} x = y - 7, \\ 3x + 4y = 0; \end{cases}\)

\((-3;\ 4)\):

\( \begin{cases} -3 = 4 - 7, \\ 3 \cdot (-3) + 4 \cdot 4 = 0; \end{cases}\)

\( \begin{cases} -3 = -3, \\ -9 + 16 = 0; \end{cases}\)

\( \begin{cases} -3 = -3, \\ 7 \ne 0; \end{cases}\)

Пара не является решением.

\((-2;\ -6)\):

\( \begin{cases} -2 = -6 - 7, \\ 3\cdot (-2) + 4\cdot (-6) = 0; \end{cases}\)

\( \begin{cases} -2 \ne -13, \\ -6 -24 = 0; \end{cases}\)

\( \begin{cases} -2 \ne -13, \\ -30\ne 0; \end{cases}\)

Пара не является решением.

\((-4;\ 3)\):

\( \begin{cases} -4 = 3 - 7, \\ 3 \cdot (-4)+ 4 \cdot 3= 0; \end{cases}\)

\( \begin{cases} -4 = -4, \\-12+ 12= 0; \end{cases}\)

\( \begin{cases} -4 = -4, \\0= 0; \end{cases}\)

Пара является решением.

Ответ:  \((-4;\ 3)\)

б) \( \begin{cases} 13x - y = 0, \\ 5x - y = -4; \end{cases} \)

\((-3;\ 4)\):

\( \begin{cases} 13\cdot (-3) -4 = 0, \\ 5\cdot (-3) - 4 = -4; \end{cases} \)

\( \begin{cases} -39 -4 = 0, \\ -15 - 4 = -4; \end{cases} \)

\( \begin{cases} -43\ne 0, \\ -19 \ne -4; \end{cases} \)

Пара не является решением.

\((-2;\ -6)\):

\( \begin{cases} 13\cdot (-2) -(-6) = 0, \\ 5\cdot (-2) - (-6) = -4; \end{cases} \)

\( \begin{cases} -26 +6 = 0, \\ -10 +6 = -4; \end{cases} \)

\( \begin{cases} -20\ne 0, \\ -4 = -4; \end{cases} \)

Пара не является решением.

 \((-4;\ 3)\):

\( \begin{cases} 13 \cdot (-4) - 3 = 0, \\ 5 \cdot (-4)- 3 = -4; \end{cases} \)

\( \begin{cases} -52 - 3 = 0, \\ -20- 3 = -4; \end{cases} \)

\( \begin{cases} -55 \ne 0, \\ -23 \ne -4; \end{cases} \)

Пара не является решением.

Ответ: Нет ни одной подходящей пары

Пояснения:

Чтобы проверить, является ли пара чисел решением системы, подставляем координаты точки в оба уравнения и проверяем выполнение равенств. В первой системе только пара \((-4;\ 3)\) удовлетворяет обоим уравнениям, а во второй — ни одна пара не подходит.