Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№1022 учебника 2023-2025 (стр. 199):
При каком значении \(b\) многочлен стандартного вида, тождественно равный произведению
\( (x^2 - 10x + 6)(2x + b), \):
а) не содержит \(x^2\);
б) имеет равные коэффициенты при \(x^3\) и при \(x\)?
№1022 учебника 2013-2022 (стр. 198):
Может ли выражение:
а) \(a^2 + 16a + 64\) принимать отрицательные значения;
б) \(-b^2 - 25 + 10b\) принимать положительные значения;
в) \(-x^2 + 6x - 9\) принимать неотрицательные значения;
г) \((y + 10)^2 - 0{,}1\) принимать отрицательные значения;
д) \(0{,}001 - (a + 100)^2\) принимать положительные значения?
№1022 учебника 2023-2025 (стр. 199):
№1022 учебника 2013-2022 (стр. 198):
Вспомните:
№1022 учебника 2023-2025 (стр. 199):
\( (x^2 - 10x + 6)(2x + b) =\)
\(=2x^3 + b x^2 - 20x^2 - 10bx + 12x + 6b =\)
\(=2x^3 + (b - 20)x^2 + (12 - 10b)x + 6b. \)
а) \( b - 20 = 0 \)
\(b = 20. \)
б) \( 12 - 10b = 2 \)
\(-10b = -10\)
\(b = 1. \)
Ответ: а) многочлен не содержит \(x^2\) при \(b = 20 \); б) многочлен имеет равные коэффициенты при \(x^3\) и \(x\) при \(b = 1. \)
Пояснения:
Использованные приёмы и формулы:
1) Стандартный вид многочлена: многочлен, состоящий из одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных, называют многочленом стандартного вида.
2) Умножение многочлена на многочлен:
\((a + b)(c + d) = ac + ad + dc + bd\).
3) Приведение подобных членов:
\(ax + bx = (a + b)x\).
4) Многочлен не содержит переменную \(x^2\), если коэффициент, стоящий перед этой переменной равен нулю, то есть в данном случае \( b - 20 = 0 \), откуда \(b = 20. \)
5) В полученном многочлене коэффициент перед \(x^3\) равен 2, а перед \(x\) равен (12 - 10b). По условию эти коэффициенты должны быть равны, значит,
\( 12 - 10b = 2 \), тогда
\(-10b = -10\), откуда \(b = 1. \)
№1022 учебника 2013-2022 (стр. 198):
а) \(a^2 + 16a + 64 =\)
\(=(a + 8)^2 \ge 0\).
Ответ: не может принимать отрицательные значения.
б) \(-b^2 - 25 + 10b =\)
\(=-(b^2 - 10b + 25) =\)
\(=-(b - 5)^2 \le 0\).
Ответ: не может принимать положительные значения.
в) \(-x^2 + 6x - 9 =\)
\(=-(x^2 - 6x + 9) =\)
\(=-(x - 3)^2 \le 0\).
Если \(x=3\), то
\((3 - 3)^2 = 0\)
Ответ: принимает неотрицательное значение при \(x=3\).
г) \((y + 10)^2 - 0{,}1\)
Если \(y = -10\), то
\((-10 + 10)^2 - 0{,}1 =-0{,}1 < 0 \).
Ответ: принимает отрицательное значение при \(y=-10\).
д) \(0{,}001 - (a + 100)^2\)
Если \(a=-100\), то
\(0{,}001 - (-100 + 100)^2 = 0{,}001 > 0 \)
Ответ: принимает положительное значение при \(a=-100\).
Пояснения:
Использованные приёмы:
1. Сумма квадратов двух выражений:
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
2. Разность квадратов двух выражений:
\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.\)
3. Противоположные выражения:
\(-(a + b) = -a - b\).
4. Свойства квадратов:
\(a^2 \ge 0\).
Вернуться к содержанию учебника