Упражнение 995 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 196

а) \( 1 - a^2 b^2 = (1 - ab)(1 + ab). \)

б) \( 4x^2 y^4 - 9 = (2x y^2)^2 - 3^2 =\)

\(=(2x y^2 - 3)(2x y^2 + 3). \)

в) \( 0,09x^6 - 0,49y^2 =\)

\(=(0,3x^3)^2 - (0,7y)^2 =\)

\( = (0,3x^3 - 0,7y)(0,3x^3 + 0,7y). \)

г) \( 1{,}21a^2 - 0{,}36b^6 =\)

\(=(1{,}1a)^2 - (0{,}6b^3)^2 = \)

\( = (1{,}1a - 0{,}6b^3)(1{,}1a + 0{,}6b^3). \)

д) \( 1\dfrac{7}{9}x^2 - \frac{9}{16}y^2 =\)

\(=\frac{16}{9}x^2 - \frac{9}{16}y^2 =\)

\(=\Bigl(\frac{4}{3}x\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{3}{4}y\Bigr)^2 =\)

\( = \Bigl(\frac{4}{3}x - \frac{3}{4}y\Bigr)\Bigl(\frac{4}{3}x + \frac{3}{4}y\Bigr). \)

е) \( 0{,}01a^2 b^4 - 1 = (0{,}1\,a\,b^2)^2 - 1^2 =\)

\( = (0{,}1\,a\,b^2 - 1)(0{,}1\,a\,b^2 + 1). \)

Пояснения:

Формулы и приёмы, использованные при разложении на множители:

1. Формула разности квадратов:

\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). \)

2. Свойства степени:

\(a^nb^n=(ab)^n\),

\(((a)^m)^n = a^{mn}\).

3. Алгоритм разложения:

— Шаг 1: Выражаем каждое из слагаемых в виде квадрата некоторого выражения.

— Шаг 2: Применяем формулу разности квадратов.

Пояснения к каждому пункту:

а) Выражение \(1 - a^2 b^2\) можно видеть как \(1^2 - (ab)^2\). После применения формулы разности квадратов получаем \((1 - ab)(1 + ab)\).

б) \(4x^2 y^4=(2x y^2)^2\), а \(9 = 3^2\). Применив формулу разности квадратов, получаем

\((2x y^2 - 3)(2x y^2 + 3)\).

в) \(0,09x^6 = (0,3x^3)^2\),

\(0,49y^2 = (0,7y)^2\).

Применив формулу разности квадратов, получаем

\((0,3x^3 - 0,7y)(0,3x^3 + 0,7y)\).

г) \(1{,}21a^2 = (1{,}1a)^2\),

\(0{,}36b^6 = (0{,}6b^3)^2\).

Применив формулу разности квадратов, получаем

\((1{,}1a - 0{,}6b^3)(1{,}1a + 0{,}6b^3)\).

д) Сначала переводим смешанное число \(1\dfrac{7}{9}\) в неправильную дробь: \(\frac{16}{9}\). Тогда \(\frac{16}{9}x^2 = \bigl(\frac{4}{3}x\bigr)^2\) и

\(\frac{9}{16}y^2 = \bigl(\frac{3}{4}y\bigr)^2\). Применив формулу разности квадратов, получаем

\(\bigl(\frac{4}{3}x - \frac{3}{4}y\bigr)\bigl(\frac{4}{3}x + \frac{3}{4}y\bigr)\).

е) \(0{,}01a^2 b^4 = (0{,}1\,a\,b^2)^2\), а \(1 = 1^2\). Применив формулу разности квадратов, получаем

\((0{,}1\,a\,b^2 - 1)(0{,}1\,a\,b^2 + 1)\).

а) \((a - 3)(a^2 - 8a + 5) - (a - 8)(a^2 - 3a + 5)\)

\(=(a^3-8a^2+5a-3a^2+24a-15) - (a^3-3a^2+5a-8a^2+24a-40)=\)

\(=\cancel{a^3}-\cancel{8a^2}+\cancel{5a}-\cancel{3a^2}+\cancel{24a}-15 - \cancel{a^3}+\cancel{3a^2}-\cancel{5a}+\cancel{8a^2}-\cancel{24a}+40=25\) - не зависит от значений переменной \(a\).

б) \((x^2 - 3x + 2)(2x + 5) - (2x^2 + 7x + 17)(x - 4)=\)

\(=(2x^3+5x^2-6x^2-15x+4x+10)-(2x^3+7x^2+17x-8x^2-28x-68)=\)

\(=\cancel{2x^3}+\cancel{5x^2}-\cancel{6x^2}-\cancel{15x}+\cancel{4x}+10-\cancel{2x^3}-\cancel{7x^2}-\cancel{17x}+\cancel{8x^2}+\cancel{28x}+68=78\) - не зависит от значений переменной \(x\).

Пояснения:

1) Умножение многочлена на многочлен:

\((a + b)(c + d) = ac + ad + dc + bd\).

2) Раскрытие скобок:

\(a - (b + c) = a - b - c\).

3) Приведение подобных членов:

\(ax + bx = (a + b)x\).

В каждом пункте после раскрытия скобок и приведения подобных членов получаем число без переменной, значит значение выражения не зависит от переменной.