Упражнение 987 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 195

а) \(1005 \cdot 995 =\)

\(=(1000 + 5)(1000 - 5)=\)

\(= 1000^2 - 5^2 = 1000000 - 25 =\)

\(=999975.\)

б) \(108 \cdot 92 = (100 + 8)(100 - 8)=\)

\(= 100^2 - 8^2 = 10000 - 64 = 9936.\)

в) \(0,94 \cdot 1,06 =\)

\(=(1 - 0,06)(1 + 0,06)=\)

\(= 1^2 - 0,06^2 = 1 - 0,0036 =\)

\(=0,9964.\)

г) \(1,09 \cdot 0,91 = \)

\(=(1 + 0,09)(1 - 0,09)=\)

\(= 1^2 - 0,09^2 = 1 - 0,0081 =\)

\(=0,9919.\)

д) \(10\frac{1}{7} \cdot 9\frac{6}{7} = \Bigl(10 + \frac{1}{7}\Bigr)\Bigl(10 - \frac{1}{7}\Bigr)=\)

\(= 10^2 - (\frac{1}{7})^2 = 100 - \frac{1}{49} =\)

\(=99\frac{49}{49} - \frac{1}{49} = 99\frac{48}{49}.\)

е) \(99\frac{7}{9} \cdot 100\frac{2}{9} =\)

\(=\Bigl(100 - \frac{2}{9}\Bigr)\Bigl(100 + \frac{2}{9}\Bigr)=\)

\(= 100^2 - (\frac{2}{9})^2 = 10000 - \frac{4}{81} =\)

\(=9999\frac{81}{81} - \frac{4}{81} = 9999\frac{77}{81}\)

Пояснения:

Использованная формула:

\( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) - произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Пояснение к пункту а)

Числа \(1005\) и \(995\) удобно представить как \(1000 + 5\) и \(1000 - 5\). Тогда по формуле разности квадратов:

\( (1000 + 5)(1000 - 5) = 1000^2 - 5^2.\)

Пояснение к пункту б)

Аналогично представляем \(108\) как \(100 + 8\), а \(92\) как \(100 - 8\). Тогда по формуле разности квадратов:

\( (100 + 8)(100 - 8) = 100^2 - 8^2.\)

Пояснение к пункту в)

Десятичные числа \(0,94\) и \(1,06\) можно представить как \(1 - 0,06\) и \(1 + 0,06\). Тогда по формуле разности квадратов:

\((1 - 0,06)(1 + 0,06) = \)

\(=1^2 - (0,06)^2.\)

Пояснение к пункту г)

Для \(1,09\) и \(0,91\) используем представление \(1 + 0,09\) и \(1 - 0,09\). Тогда:

\((1 + 0,09)(1 - 0,09) =\)

\(=1^2 - (0,09)^2.\)

Пояснение к пункту д)

Смешанные числа \(10\frac{1}{7}\) и \(9\frac{6}{7}\) удобно представить так:

\(10\frac{1}{7} = 10 + \frac{1}{7}\)  и  \(9\frac{6}{7} = 10 - \frac{1}{7}.\)

Тогда по формуле разности квадратов:

\( \Bigl(10 + \frac{1}{7}\Bigr)\Bigl(10 - \frac{1}{7}\Bigr) = 10^2 - \Bigl(\frac{1}{7}\Bigr)^2\)

Пояснение к пункту е)

Смешанные числа \(99\frac{7}{9}\) и \(100\frac{2}{9}\) можно записать так:

\(99\frac{7}{9} = 100 - \frac{2}{9}\) и \(100\frac{2}{9} = 100 + \frac{2}{9}.\)

Тогда по формуле разности квадратов:

\(\Bigl(100 - \frac{2}{9}\Bigr)\Bigl(100 + \frac{2}{9}\Bigr) = \)

\(=100^2 - \Bigl(\frac{2}{9}\Bigr)^2.\)

а) \( \frac{27}{64} - y^{12} = \Bigl(\frac{3}{4}\Bigr)^3 - \Bigl(y^{4}\Bigr)^3 =\)

\(=\Bigl(\tfrac{3}{4} - y^4\Bigr)\Bigl(\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)^2 + \tfrac{3}{4}\,y^4 + (y^4)^2\Bigr) =\)

\(=\bigl(\tfrac{3}{4} - y^4\bigr)\bigl(\tfrac{9}{16} + \tfrac{3}{4}y^4 + y^8\bigr). \)

б) \( -x^{15} + \frac{1}{27} = \frac{1}{27} - x^{15} =\)

\(=\Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr)^3 - \Bigl(x^5\Bigr)^3=\)

\(=\Bigl(\tfrac{1}{3} - x^5\Bigr)\Bigl(\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^2 + \tfrac{1}{3}x^5 + (x^5)^2\Bigr) =\)

\(=\bigl(\tfrac{1}{3} - x^5\bigr)\bigl(\tfrac{1}{9} + \tfrac{1}{3}x^5 + x^{10}\bigr). \)

в) \( 3\tfrac{3}{8}a^{15} + b^{12} =\tfrac{27}{8}a^{15} + b^{12} =\)

\(=\bigl(\tfrac{3}{2}a^5\bigr)^3 + \bigl(b^4\bigr)^3=\)

\(=\bigl(\tfrac{3}{2}a^5 + b^4\bigr)\Bigl(\bigl(\tfrac{3}{2}a^5\bigr)^2 - \tfrac{3}{2}a^5\,b^4 + (b^4)^2\Bigr) =\)

\( = \bigl(\tfrac{3}{2}a^5 + b^4\bigr)\bigl(\tfrac{9}{4}a^{10} - \tfrac{3}{2}a^5b^4 + b^8\bigr). \)

г) \(1\tfrac{61}{64}x^{18} + y^3 = \tfrac{125}{64}x^{18} + y^3 =\)

\( =\bigl(\tfrac{5}{4}x^{6}\bigr)^3 + y^3 =\)

\(=\bigl(\tfrac{5}{4}x^6 + y\bigr)\Bigl(\bigl(\tfrac{5}{4}x^6\bigr)^2 - \tfrac{5}{4}x^6\,y + y^2\Bigr)=\)

\( = \bigl(\tfrac{5}{4}x^6 + y\bigr)\bigl(\tfrac{25}{16}x^{12} - \tfrac{5}{4}x^6y + y^2\bigr). \)

Пояснения:

Использованные формулы и приемы:

1. Формулы суммы кубов и разности кубов:

\( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\),

\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2). \)

2. Свойства степени:

\(a^nb^n=(ab)^n\),

\((a^m)^n=a^{mn}\).