Упражнение 971 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(y = 0{,}24x + 6\)

1) С осью \(Oy\): \(x = 0\).

\( y = 0{,}24 \cdot 0 + 6 = 6. \)

\(\bigl(0,\,6\bigr)\) - точка пересечения с осью \(y\).

2) С осью \(Ox\): \(y = 0\).

\( 0 = 0{,}24x + 6 \)

\(-0{,}24x = 6\)

\(x = \frac{-6}{0{,}24} \)

\(x = -\frac{600}{24}\)

\(x = -25. \)

\(\bigl(-25,\,0\bigr)\) - точка пересечения с осью \(x\).

Ответ: \(\bigl(0,\,6\bigr)\) и \(\bigl(-25,\,0\bigr)\).

б) \(y = -5x - 1{,}8\)

1) С осью \(Oy\): \(x = 0\).

\( y = -5 \cdot 0 - 1{,}8 = -1{,}8. \)

\(\bigl(0,\,-1{,}8\bigr)\) - точка пересечения с осью \(y\).

2) C осью \(Ox\): \(y = 0\).

\( 0 = -5x - 1{,}8\)

\(-5x = 1{,}8\)

\(x = -\frac{1{,}8}{5} \)

\(x =-0{,}36 \)

\(\bigl(-0{,}36,\,0\bigr)\) - точка пересечения с осью \(x\).

Ответ: \(\bigl(0,\,-1{,}8\bigr)\) и \(\bigl(-0{,}36,\,0\bigr)\).

в) \(y = -0{,}6x + 4{,}2\)

1) С осью \(Oy\): при \(x = 0\).

\( y = -0{,}6 \cdot 0 + 4{,}2 = 4{,}2. \)

\(\bigl(0,\,4{,}2\bigr)\) - точка пересечения с осью \(y\).

2) С осью \(Ox\):\(y = 0\).

\( 0 = -0{,}6x + 4{,}2\)

\(-0{,}6x = -4{,}2 \)

\( x = \frac{-4{,}2}{-0{,}6} \)

\( x = \frac{42}{6} \)

\( x = 7. \)

\(\bigl(7,\,0\bigr)\) - точка пересечения с осью \(x\).

Ответ: \(\bigl(0,\,4{,}2\bigr)\) и \(\bigl(7,\,0\bigr)\).

г) \(y = -x - 3{,}8\)

1) С осью \(Oy\): \(x = 0\).

\( y = -0 - 3{,}8 = -3{,}8. \)

\(\bigl(0,\,-3{,}8\bigr)\) - точка пересечения с осью \(y\).

2) С осью \(Ox\): \(y = 0\).

\( 0 = -x - 3{,}8 \)

\( x = -3{,}8 \)

\(\bigl(-3{,}8,\,0\bigr)\) - точка пересечения с осью \(x\).

Ответ: \(\bigl(0,\,-3{,}8\bigr)\) и \(\bigl(-3{,}8,\,0\bigr)\).

Пояснения:

1) Нахождение точки пересечения с осью \(Oy\):

Для этого в уравнение функции подставляем \(x = 0\). Получаем значение \(y\) — это координата точки на оси \(Oy\). Точка имеет вид \((0,\,y).\)

Если \(y = ax + b\), то при \(x = 0\) получим\(y = b\), и точка пересечения с осью \(Oy\) имеет координаты \((0,\,b)\).

2) Нахождение точки пересечения с осью \(Ox\):

Для этого в уравнение функции подставляем \(y = 0\). Решаем получившееся уравнение относительно \(x\). Результат — абсцисса точки. Точка пересечения с осью \(Ox\) имеет вид \((x,\,0)\).

Если \(y = ax + b\), то при \(y = 0\) получим \(ax + b = 0 \) откуда \(x = -\frac{b}{a}\), и точка пересечения с осью \(Ox\) имеет координаты \(\bigl(-\frac{b}{a},\,0\bigr).\)

3) Особенности вычислений с десятичными коэффициентами:

— При делении на десятичное число удобно умножить числитель и знаменатель на 10 или 100, чтобы избавиться от запятой.

— В пункте (а) \(x = -\frac{6}{0{,}24}\) можно представлять как \( -\frac{600}{24} = -25.\)

— В пункте (б) \(x = -\frac{1{,}8}{5} = -0{,}36.\)

4) Итоговые точки пересечения:

а) с осью \(Oy\): \((0,\,6)\),

с осью \(Ox\): \((-25,\,0)\).

б) с осью \(Oy\): \((0,\,-1{,}8)\),

с осью \(Ox\): \((-0{,}36,\,0)\).

в) с осью \(Oy\): \((0,\,4{,}2)\),

с осью \(Ox\): \((7,\,0)\).

г) с осью \(Oy\): \((0,\,-3{,}8)\),

с осью \(Ox\): \((-3{,}8,\,0)\).

а) \(1005 \cdot 995 =\)

\(=(1000 + 5)(1000 - 5)=\)

\(= 1000^2 - 5^2 = 1000000 - 25 =\)

\(=999975.\)

б) \(108 \cdot 92 = (100 + 8)(100 - 8)=\)

\(= 100^2 - 8^2 = 10000 - 64 = 9936.\)

в) \(0,94 \cdot 1,06 =\)

\(=(1 - 0,06)(1 + 0,06)=\)

\(= 1^2 - 0,06^2 = 1 - 0,0036 =\)

\(=0,9964.\)

г) \(1,09 \cdot 0,91 = \)

\(=(1 + 0,09)(1 - 0,09)=\)

\(= 1^2 - 0,09^2 = 1 - 0,0081 =\)

\(=0,9919.\)

д) \(10\frac{1}{7} \cdot 9\frac{6}{7} = \Bigl(10 + \frac{1}{7}\Bigr)\Bigl(10 - \frac{1}{7}\Bigr)=\)

\(= 10^2 - (\frac{1}{7})^2 = 100 - \frac{1}{49} =\)

\(=99\frac{49}{49} - \frac{1}{49} = 99\frac{48}{49}.\)

е) \(99\frac{7}{9} \cdot 100\frac{2}{9} =\)

\(=\Bigl(100 - \frac{2}{9}\Bigr)\Bigl(100 + \frac{2}{9}\Bigr)=\)

\(= 100^2 - (\frac{2}{9})^2 = 10000 - \frac{4}{81} =\)

\(=9999\frac{81}{81} - \frac{4}{81} = 9999\frac{77}{81}\)

Пояснения:

Использованная формула:

\( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) - произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Пояснение к пункту а)

Числа \(1005\) и \(995\) удобно представить как \(1000 + 5\) и \(1000 - 5\). Тогда по формуле разности квадратов:

\( (1000 + 5)(1000 - 5) = 1000^2 - 5^2.\)

Пояснение к пункту б)

Аналогично представляем \(108\) как \(100 + 8\), а \(92\) как \(100 - 8\). Тогда по формуле разности квадратов:

\( (100 + 8)(100 - 8) = 100^2 - 8^2.\)

Пояснение к пункту в)

Десятичные числа \(0,94\) и \(1,06\) можно представить как \(1 - 0,06\) и \(1 + 0,06\). Тогда по формуле разности квадратов:

\((1 - 0,06)(1 + 0,06) = \)

\(=1^2 - (0,06)^2.\)

Пояснение к пункту г)

Для \(1,09\) и \(0,91\) используем представление \(1 + 0,09\) и \(1 - 0,09\). Тогда:

\((1 + 0,09)(1 - 0,09) =\)

\(=1^2 - (0,09)^2.\)

Пояснение к пункту д)

Смешанные числа \(10\frac{1}{7}\) и \(9\frac{6}{7}\) удобно представить так:

\(10\frac{1}{7} = 10 + \frac{1}{7}\)  и  \(9\frac{6}{7} = 10 - \frac{1}{7}.\)

Тогда по формуле разности квадратов:

\( \Bigl(10 + \frac{1}{7}\Bigr)\Bigl(10 - \frac{1}{7}\Bigr) = 10^2 - \Bigl(\frac{1}{7}\Bigr)^2\)

Пояснение к пункту е)

Смешанные числа \(99\frac{7}{9}\) и \(100\frac{2}{9}\) можно записать так:

\(99\frac{7}{9} = 100 - \frac{2}{9}\) и \(100\frac{2}{9} = 100 + \frac{2}{9}.\)

Тогда по формуле разности квадратов:

\(\Bigl(100 - \frac{2}{9}\Bigr)\Bigl(100 + \frac{2}{9}\Bigr) = \)

\(=100^2 - \Bigl(\frac{2}{9}\Bigr)^2.\)