Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№938 учебника 2023-2025 (стр. 186):
Зная, что \(a = 2x - 5\), \(b = 8x + 1\), \(c = 4x - 2\), представьте в виде многочлена с переменной \(x\) выражение \(ab - c^2\).
№938 учебника 2013-2022 (стр. 188):
Разложите на множители:
а) \(p^4 - 16\);
б) \(x^4 - 81\);
в) \(y^8 - 1\);
г) \(a^4 - b^8\).
№938 учебника 2023-2025 (стр. 186):
Вспомните:
№938 учебника 2013-2022 (стр. 188):
Вспомните:
№938 учебника 2023-2025 (стр. 186):
\(a = 2x - 5\), \(b = 8x + 1\),
\(c = 4x - 2\).
\(ab - c^2 =\)
\(=(2x - 5)(8x + 1) - (4x - 2)^2 =\)
\(=16x^2 + 2x - 40x - 5 - (16x^2 - 16x + 4)=\)
\(= 16x^2 - 38x - 5 - 16x^2 + 16x - 4=\).
\(= \cancel{16x^2} - 38x - 5 - \cancel{16x^2} + 16x - 4 =\)
\(=-22x - 9\).
Пояснения:
Использованные правила:
– Умножение многочлена на многочлен: каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго многочлена.
– Сложение и вычитание многочленов: у многочлена, который вычитают, при раскрытии скобок меняют все знаки на противоположные.
– Квадрат разности двух выражений:
\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
– Свойство степени:
\(a^ma^n=a^{m+n}\).
– Приведение подобных слагаемых:
\(ax + bx = (a + b)x\).
Умножаем \(a\) на \(b\), для этого раскрываем скобки по правилу умножения многочлена на многочлен, затем приводим подобные члены:
\( (2x - 5)(8x + 1) =\)
\(=2x\cdot8x + 2x\cdot1 - 5\cdot8x - 5\cdot1 =\)
\(=16x^2 + 2x - 40x - 5 =\)
\(=16x^2 - 38x - 5. \)
Возводим \(c\) в квадрат по правилу квадрата разности:
\( (4x - 2)^2 = (4x)^2 - 2\cdot4x\cdot2 + 2^2=\)
\(=16x^2 - 16x + 4. \)
Вычитаем полученные многочлены, раскрывая скобки со знаком минус и приводя подобные члены:
\( (16x^2 - 38x - 5) - (16x^2 - 16x + 4) =\)
\(=16x^2 - 38x - 5 - 16x^2 + 16x - 4 =\)
\(=(16x^2 - 16x^2) + (-38x + 16x) + (-5 - 4) =\)
\(=-22x - 9. \)
№938 учебника 2013-2022 (стр. 188):
а) \( p^4 - 16 = p^4 - 4^2 =\)
\((p^2)^2 - 4^2=\)
\(=(p^2 - 4)(p^2 + 4) =\)
\(=(p - 2)(p + 2)(p^2 + 4). \)
б) \( x^4 - 81 = x^4 - 9^2 =\)
\(= (x^2)^2 - 9^2 =\)
\(=(x^2 - 9)(x^2 + 9) =\)
\(=(x - 3)(x + 3)(x^2 + 9). \)
в) \( y^8 - 1 = (y^4)^2 - 1^2 = \)
\(=(y^4 - 1)(y^4 + 1)=\)
\(= ((y^2)^2 - 1^2)(y^4 + 1)=\)
\(=(y^2 - 1)(y^2 + 1) (y^4 + 1)=\)
\(=(y - 1)(y + 1)(y^2 + 1)(y^4 + 1)\).
г) \( a^4 - b^8 = (a^2)^2 - (b^4)^2 =\)
\(=(a^2 - b^4)(a^2 + b^4)= \)
\(= a^2 - (b^2)^2(a^2 + b^4) =\)
\(=(a - b^2)(a + b^2)(a^2 + b^4) \).
Пояснения:
— Использована формула разности квадратов:
\(a^2 - b^2= (a - b)(a + b).\)
Свойство степени:
\((a^m)^n = a^{m\cdot{n}}\).
— Многократное разложение: после первого применения формулы разности квадратов получаются новые разности квадратов, которые снова раскладываются по той же формуле.
Пояснение к пункту а):
Трёхчлен \(p^4 - 16\) является разностью двух квадратов: \(p^4 - 2^4\). Сначала раскладываем как \((p^2 - 4)(p^2 + 4)\), затем внутри \(p^2 - 4\) снова видим разность квадратов:
\(p^2 - 2^2 = (p-2)(p+2)\).
Пояснение к пункту б):
Аналогично:
\(x^4 - 81 = x^4 - 3^4 = (x^2 - 9)(x^2 + 9)\),
и далее \(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\). Многочлен \(x^2 + 9\) дальше не раскладывается над действительными числами.
Пояснение к пункту в):
Сначала заметим:
\(y^8 - 1 = (y^4)^2 - 1^2 = (y^4 - 1)(y^4 + 1)\).
В скобке \(y^4 - 1\) снова разность квадратов:
\((y^2)^2 - 1^2 = (y^2 - 1)(y^2 + 1)\).
И в свою очередь
\(y^2 - 1 = (y-1)(y+1)\).
В результате получаем
\((y - 1)(y + 1)(y^2 + 1)(y^4 + 1)\).
Пояснение к пункту г):
\(a^4 - b^8 = (a^2)^2 - (b^4)^2 = (a^2 - b^4)(a^2 + b^4)\).
Дальше \(a^2 - b^4 = (a)^2 - (b^2)^2 = (a - b^2)(a + b^2)\).
Таким образом итоговое разложение:
\((a - b^2)(a + b^2)(a^2 + b^4)\).
Вернуться к содержанию учебника