Упражнение 934 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(2x^2y\) - целое выражение.

б) \(4a^2 - b(a - 3b) = 4a^2 - ab + 3b^2 \) - целое выражение.

в) \(\displaystyle\frac{a^2}{a-3}\) - не является целым выражением.

г) \(\displaystyle\frac{x^2 - 1}{8}\) - целое выражение.

д) \(9x - \tfrac12\) - целое выражение.

Пояснения:

Числовые выражения и выражения с переменными называют алгебраическими выражениями. Алгебраические выражения, которые не содержат деления на выражения с переменными, называют целыми выражениями.

а) \(5x^2 - 5y^2 = 5\bigl(x^2 - y^2\bigr) =\)

\(=5\,(x - y)\,(x + y).\)

б) \(am^2 - an^2 = a\bigl(m^2 - n^2\bigr) =\)

\(=a\,(m - n)\,(m + n).\)

в) \(2ax^2 - 2ay^2 = 2a\bigl(x^2 - y^2\bigr) =\)

\(=2a\,(x - y)\,(x + y).\)

г) \(9p^2 - 9 = 9\bigl(p^2 - 1\bigr) =\)

\(=9\,(p - 1)\,(p + 1).\)

д) \(16x^2 - 4 = 4\bigl(4x^2 - 1\bigr) =\)

\(=4((2x)^2 - 1^2)=4\,(2x - 1)\,(2x + 1).\)

е) \(75 - 27c^2 = 3\bigl(25 - 9c^2\bigr) =\)

\(=3\bigl(5^2 - (3c)^2\bigr) = 3\,(5 - 3c)\,(5 + 3c).\)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

— Вынесение общего множителя за скобки:

\(ax+bx=(a+b)x\).

— Формула разности квадратов:

\(a^2 - b^2= (a - b)(a + b).\)

— Свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n.\)

Пояснение к пункту а):

Сначала вынесли общий множитель \(5\), получив \(5(x^2 - y^2)\). Внутри скобок стоит разность квадратов \(x^2 - y^2\), которую разложили по формуле

\(x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)\).

Пояснение к пункту б):

В каждом слагаемом есть общий множитель \(a\), поэтому вынесли \(a\) за скобки, получив \(a(m^2 - n^2)\). Затем применили формулу разности квадратов

\(m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)\).

Пояснение к пункту в):

Общий множитель в \(2ax^2\) и \(-2ay^2\) — это \(2a\). Вынесли \(2a\) за скобки, получили \(2a(x^2 - y^2)\). Затем внутри скобок разложили разность квадратов \(x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)\).

Пояснение к пункту г):

Числовой общий множитель у \(9p^2\) и \(-9\) — это \(9\). Вынесли его за скобки, получили \(9(p^2 - 1)\). Внутри скобок также разность квадратов:

\(p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1)\).

Пояснение к пункту д):

Из \(16x^2\) и \(-4\) вынесли за скобки общий множитель \(4\), получили

\(4(4x^2 - 1)\). Затем \(4x^2 - 1\) — это разность квадратов \((2x)^2 - 1^2\), разложили как \((2x - 1)(2x + 1)\).

Пояснение к пункту е):

Сначала заметили общий множитель \(3\), вынесли его за скобки, получив \(3(25 - 9c^2)\). Внутри скобок \(25 - 9c^2\) — разность квадратов \((5)^2 - (3c)^2\), разложили как \((5 - 3c)(5 + 3c)\).