Упражнение 937 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((3m - a)(a + 3m) - (2a + m)(3a - m)=\)

\(= (3m - a)(3m + a) - (6a^2 - 2am + 3am -m^2)=\)

\(=9m^2 - a^2 - 6a^2 + 2am - 3am + m^2=\)

\(=10m^2 - 7a^2 - am.\)

б) \((x - 4y)(x + 3y) + (x - 3y)(3y + x) =\)

\( = x^2 + 3xy - 4xy -12y + (x - 3y)(x + 3y) =\)

\(=x^2 - xy - 12y^2 + x^2 - 9y^2=\)

\(=2x^2 -xy-21y^2\).

Пояснения:

Использованные правила:

– Умножение многочлена на многочлен: каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго многочлена.

– Сложение и вычитание многочленов: у многочлена, который вычитают, при раскрытии скобок меняют все знаки на противоположные.

– Произведение суммы и разности двух выражений равно разности квадратов этих выражений:

\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\).

– Свойство степени:

\(a^ma^n=a^{m+n}\).

– Приведение подобных слагаемых:

\(ax + bx = (a + b)x\).

В пункте а) мы применили формулу к первому произведению, получив \(9m^2 - a^2\). Второй множитель раскрыли умножением многочлена на многочлен и собрали подобные члены.

В пункте б) применили формулу ко второму произведению и получили \(x^2 - 9y^2\). Первое произведение раскрыли умножением многочлена на многочлен, затем сложили с результатом разности квадратов и привели подобные члены.

\(a^8 - b^8 = \bigl(a^4\bigr)^2 - \bigl(b^4\bigr)^2 =\)

\(=\bigl(a^4 - b^4\bigr)\bigl(a^4 + b^4\bigr)=\)

\(=\bigl((a^2)^2 - (b^2)^2\bigr)\bigl(a^4 + b^4\bigr)=\)

\(= (a^2 - b^2)\bigl(a^2 + b^2\bigr)\bigl(a^4 + b^4\bigr) =\)

\(=(a - b)(a + b)\bigl(a^2 + b^2\bigr)\bigl(a^4 + b^4\bigr). \)

Тождество доказано.

Пояснения:

— Использована формула разности квадратов:

\(a^2 - b^2= (a - b)(a + b).\)

Свойство степени:

\((a^m)^n = a^{m\cdot{n}}\).

— На первом этапе:

\(a^8 - b^8 = (a^4 - b^4)(a^4 + b^4)\).

— На втором этапе разложили:

\(a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)\).

— На третьем этапе:

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).

— Собрав все множители, получили требуемый вид:

\( a^8 - b^8 = (a - b)(a + b)\bigl(a^2 + b^2\bigr)\bigl(a^4 + b^4\bigr). \)