Упражнение 935 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^3 + 7x^2 + 8 + (x^2 - 6x + 4)(x - 1) =\)

\(=x^3 + \cancel{7x^2} + 8 + x^3 - \cancel{x^2} - \cancel{6x^2} + 6x + 4x - 4\)

\(= 2x^3 + 10x + 4.\)

б) \((a^2 + 7a - 4)(a - 3) - (a^3 + 4a^2 - 29a + 11)=\)

\(=\cancel{a^3} - \cancel{3a^2} + \cancel{7a^2} - 21a - 4a + 12 - \cancel{a^3} - \cancel{4a^2} + 29a - 11=\)

\((a^3 + 4a^2 - 25a + 12) -  = 4a + 1\)

Пояснения:

Использованные правила:

– Умножение многочлена на многочлен: каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго многочлена.

– Сложение и вычитание многочленов: у многочлена, который вычитают, при раскрытии скобок меняют все знаки на противоположные.

– Приведение подобных слагаемых:

\(ax + bx = (a + b)x\).

– Свойство степени:

\(a^ma^n=a^{m+n}\).

В каждом выражении сначала выполнили умножение многочлена на многочлен, затем раскрыли скобки, учитывая знаки, стоящие перед ними, далее привели подобные члены (вычеркнули те члены, сумма которых равна нулю).

а) \( y^3 - y^5 = y^3\bigl(1 - y^2\bigr) =\)

\(=y^3\,\bigl(1 - y\bigr)\,\bigl(1 + y\bigr). \)

б) \( 2x - 2x^3 = 2x\bigl(1 - x^2\bigr) =\)

\(=2x\,\bigl(1 - x\bigr)\,\bigl(1 + x\bigr). \)

в) \( 81x^2 - x^4 = x^2\bigl(81 - x^2\bigr) =\)

\(=x^2\,\bigl(9 - x\bigr)\,\bigl(9 + x\bigr). \)

г) \( 4y^3 - 100y^5 = 4y^3\bigl(1 - 25y^2\bigr) =\)

\(=4y^3\bigl(1 - (5y)^2\bigr) =\)

\(=4y^3\,\bigl(1 - 5y\bigr)\,\bigl(1 + 5y\bigr). \)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

— Вынесение общего множителя за скобки:

\(ax+bx=(a+b)x\).

— Формула разности квадратов:

\(a^2 - b^2= (a - b)(a + b).\)

— Свойства степени:

\(a^ma^n=a^{m+n}\);

\((ab)^n = a^nb^n.\)

В каждом пункте сначала выделен наибольший общий множитель (например, \(y^3\) в пункте а), \(2x\) в пункте б), \(x^2\) в пункте в), \(4y^3\) в пункте г)). После этого внутри скобок получалась разность квадратов (например, \(1 - y^2\), \(1 - x^2\), \(81 - x^2\), \(1 - 25y^2\)), которую разложили по формуле на множители.