Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№911 учебника 2023-2025 (стр. 181):
Разложите на множители:
а) \(9y^2 - (1 + 2y)^2\);
б) \((3c - 5)^2 - 16c^2\);
в) \(49x^2 - (y + 8x)^2\);
г) \((5a - 3b)^2 - 25a^2\);
д) \((-2a^2 + 3b)^2 - 4a^4\);
е) \(b^6 - (x - 4b^3)^2\).
№911 учебника 2013-2022 (стр. 182):
Запишите в виде произведения:
а) \(-x^3 + y^3\);
б) \(-8 - p^3\);
в) \(-a^6 + \tfrac{1}{8}\);
г) \(-\tfrac{1}{27} - b^6\);
д) \(c^6 + 1\);
е) \(x^6 + y^6\).
№911 учебника 2023-2025 (стр. 181):
Вспомните:
№911 учебника 2013-2022 (стр. 182):
Вспомните:
№911 учебника 2023-2025 (стр. 181):
а) \( 9y^2 - (1 + 2y)^2 = \)
\(= (3y)^2 - (1 + 2y)^2 = \)
\(=(3y - (1 + 2y))\,(3y + (1 + 2y)) =\)
\(=(3y - 1 - 2y)\,(3y + 1 + 2y) =\)
\(=(y - 1)\,(5y + 1). \)
б) \( (3c - 5)^2 - 16c^2 =\)
\( =(3c - 5)^2 - (4c)^2 =\)
\(=((3c - 5) - 4c)\,((3c - 5) + 4c) =\)
\(=(3c - 5 - 4c)\,(3c - 5 + 4c) =\)
\(=(-c - 5)\,(7c - 5). \)
в) \( 49x^2 - (y + 8x)^2 =\)
\(= (7x)^2 - (y + 8x)^2 =\)
\(=(7x - (y + 8x))\,(7x + (y + 8x)) =\)
\(=(7x - y - 8x)\,(7x + y + 8x) =\)
\(=(-x - y)\,(15x + y). \)
г) \( (5a - 3b)^2 - 25a^2 =\)
\( =(5a - 3b)^2 - (5a)^2 =\)
\(=((5a - 3b) - 5a)\,((5a - 3b) + 5a) =\)
\(=-3b(10a - 3b). \)
д) \( (-2a^2 + 3b)^2 - 4a^4 =\)
\( =(-2a^2 + 3b)^2 - (2a^2)^2 =\)
\(=((-2a^2 + 3b) - 2a^2)\,((-2a^2 + 3b) + 2a^2) =\)
\(=(-2a^2 + 3b - 2a^2)\,(-2a^2 + 3b + 2a^2) =\)
\(=(3b-4a^2)\cdot3b. \)
е) \( b^6 - (x - 4b^3)^2 =\)
\( =(b^3)^2 - (x - 4b^3)^2 =\)
\(=(b^3 - (x - 4b^3))\,(b^3 + (x - 4b^3)) =\)
\(=(b^3 - x + 4b^3)\,(b^3 + x - 4b^3) =\)
\(=(5b^3 - x)\,(x - 3b^3). \)
Пояснения:
Использованная формула:
\( u^2 - v^2 = (u - v)(u + v). \) - разность квадратов двух выражений.
При этом учитываем свойства степени:
\(a^nb^n=(ab)^n\);
\((a^m)^n = a^{m\cdot{n}}\) .
1. В каждом пункте исходное выражение представлено как разность квадратов двух величин \(u\) и \(v\), после чего применили формулу.
2. Для каждого случая задали \(u\) и \(v\) по примеру:
а) \(u = 3y\), \(v = 1 + 2y\);
б) \(u = 3c - 5\), \(v = 4c\);
в) \(u = 7x\), \(v = y + 8x\);
г) \(u = -2a^2 + 3b\), \(v = 2a^2\);
д) \(u = b^3\), \(v = x - 4b^3\);
е) \(u = 5a - 3b\), \(v = 5a\).
3. Раскрыв скобки в скобках \((u - v)\) и \((u + v)\). При раскрытии скобок помним, если перед скобками стоит знак минус, то при раскрытии скобок знаки всех слагаемых в скобках меняем на противоположные.
4. Привели подобные члены в каждом множителе:
\(ax + bx=(a+b)x\).
№911 учебника 2013-2022 (стр. 182):
а) \( -x^3 + y^3 = y^3 - x^3 =\)
\(=(y - x)\bigl(y^2 + yx + x^2\bigr). \)
б) \( -8 - p^3 = -(8 + p^3) =\)
\(=-\bigl(2^3 + p^3\bigr) =\)
\(=-(2 + p)\bigl(4 - 2p + p^2\bigr). \)
в) \( -a^6 + \tfrac{1}{8} = \tfrac{1}{8} - a^6 =\)
\(=\Bigl(\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^3 - (a^2)^3\Bigr) = \)
\(=(\tfrac{1}{2} - a^2)\bigl(\tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{2}a^2 + a^4\bigr). \)
г) \( -\tfrac{1}{27} - b^6 = -\Bigl(\tfrac{1}{27} + b^6\Bigr) =\)
\(=-\Bigl(\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^3 + (b^2)^3\Bigr) =\)
\(=-\Bigl(\tfrac{1}{3} + b^2\Bigr)\bigl(\tfrac{1}{9} - \tfrac{1}{3}b^2 + b^4\bigr). \)
д) \( c^6 + 1 = (c^2)^3 + 1^3 =\)
\(=(c^2 + 1)\bigl(c^4 - c^2 + 1\bigr). \)
е) \( x^6 + y^6 = (x^2)^3 + (y^2)^3 =\)
\(=(x^2 + y^2)\bigl(x^4 - x^2y^2 + y^4\bigr). \)
Пояснения:
Использованные формулы:
— Сумма кубов:
\(\;a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\).
— Разность кубов:
\(\;a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\).
При работе с формулами учитывали свойство степени:
\((a^m)^n = a^{m\cdot{n}}\).
В пунктах а) и в) поменяли слагаемые местами, а заем применили формулу разности кубов.
В пунктах б) и г) вынесли знак минус за скобки, поменяв знаки слагаемых в скобках на противоположные, затем для выражения в скобках применили формулу суммы кубов.
Вернуться к содержанию учебника