Упражнение 914 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( (4n+5)^2 - 9 = (4n+5)^2 - 3^2 =\)

\(=\bigl((4n+5) - 3\bigr)\,\bigl((4n+5) + 3\bigr) =\)

\(=(4n+5 - 3)(4n+5 + 3) =\)

\(=(4n+2)\,(4n+8)= \)

\(=2(2n+1)\cdot4(n+2)= \)

\(=8(2n+1)(n+2) \)-  делится на 4.

б) \( (n+7)^2 - n^2 =\)

\(=\cancel{n^2} + 14n + 49 - \cancel{n^2} =\)

\(=14n + 49 = 7(2n + 7) \) - делится на 7.

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

— Формула разности квадратов:

\((u^2 - v^2) = (u - v)(u + v)\).

— Формула квадрата суммы:

\((u+v)^2=u^2+1uv+v^2\).

— Свойство делимости: если в произведении хотя бы один множитель делится на какое-либо число, то и произведение делится на это число.

1. В пункте а) выразили разность квадратов \((4n+5)^2 - 3^2\) и разложили на множители, после чего видно, что оба множителя дают общий множитель 8, а это говорит о том, что исходное выражение делится на 4.

2. В пункте б) раскрыли квадрат суммы и привели подобные члены (сократили противоположные), получили \(14n+49\), из которого вынесли множитель 7, а это говорит о том, что исходное выражение делится на 7.

а) \(38^3 + 37^3 = \)

\(=(38 + 37)\bigl(38^2 - 38\cdot37 + 37^2\bigr) =\)

\(=75 \cdot \bigl(38^2 - 38\cdot37 + 37^2\bigr)\) - делится на 75.

б) \(99^3 - 74^3 =\)

\(=(99 - 74)\bigl(99^2 + 99\cdot74 + 74^2\bigr) = \)

\(=25 \cdot \bigl(99^2 + 99\cdot74 + 74^2\bigr)\) - делится на 25.

Пояснения:

Использованные формулы:

— Сумма кубов:

\(\;a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\).

— Разность кубов:

\(\;a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\).

Свойство делимости:

если в произведении один из множителей делится на какое-либо число, то и все произведение делится на это число.