Упражнение 845 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 171

а) \( (x + 3)^3 - (x - 3)^3 =\)

\(=\bigl(x^3 + 9x^2 + 27x + 27\bigr) - \bigl(x^3 - 9x^2 + 27x - 27\bigr)= \)

\( = \cancel{x^3} + 9x^2 + \cancel{27x} + 27 -\cancel{x^3} + 9x^2 - \cancel{27x} + 27 =\)

\(=18x^2 + 54. \)

б) \( (a - 2b)^3 + 6ab(a - 2b) =\)

\(=\bigl(a^3 - 6a^2b + 12ab^2 - 8b^3\bigr) + \bigl(6a^2b - 12ab^2\bigr) =\)

\(=a^3 - \cancel{6a^2b} + \cancel{12ab^2} - 8b^3 + \cancel{6a^2b} - \cancel{12ab^2} =\)

\( = a^3 - 8b^3.\)

Пояснения:

Использованные приемы и формулы:

1. \( (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \) - куб разности двух выражений.

2. \( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \) - куб суммы двух выражений.

3. При раскрытии формул, использовали свойство степени:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)

4. Вычитание одного многочлена из другого: у многочлена, перед которым стоит знак минус, при раскрытии скобок нужно поменять все знаки на противоположные.

5. Умножение одночлена на многочлен:

\(a(b+c) = ab + ac\).

6. Правило сложения подобных членов: складываем коэффициенты при одинаковых степенях переменных:

\(ax + bx=(a+b)x\).

а) Раскрыли оба куба по формуле и вычли полученные многочлены: противоположные члены сократили.

б) Раскрыли \((a - 2b)^3\) и раскрыли произведение \(6ab\,(a - 2b)\). При сложении полученных многочленов противоположные члены сократились.

а) \(x^4 - 8x^2y^2 + 16y^4 =\)

\(=(x^2)^2 - 2\cdot{x^2}\cdot{4y^2} + 16y^4 =\)

\(=(x^2 - 4y^2)^2\).

б) \(\tfrac{1}{16}x^4 + 2x^2a + 16a^2 = \)

\(=(\tfrac{1}{4}x^2)^2 + 2\cdot\tfrac{1}{4}x^2\cdot4a + (4a)^2 = \)

\(=\bigl(\tfrac{1}{4}x^2 + 4a\bigr)^2\).

в) \(\tfrac{1}{4}a^2 + 2ab^2 + 4b^4 =\)

\(=(\tfrac{1}{2}a)^2 + 2\cdot\tfrac{1}{2}a\cdot2b^2 + (2b^2)^2 =\)

\(=\bigl(\tfrac{1}{2}a + 2b^2\bigr)^2\).

г) \(a^2x^2 - 2abx + b^2 =\)

\(=(ax)^2 - 2\cdot{ax}\cdot{b} + b^2 =\)

\(=(ax - b)^2\).

Пояснения:

Использованные формулы:

1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,

2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

При этом учитывали свойства степени:

\((a^m)^n=(a)^{m\cdot{n}};\)

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)

а) Видим \(x^4 = (x^2)^2\), \(16y^4 = (4y^2)^2\) и среднее слагаемое

\(-8x^2y^2 = -2\cdot x^2\cdot4y^2\).

По формуле квадрата разности получаем \((x^2 - 4y^2)^2\).

б) Здесь \(\tfrac{1}{16}x^4 = (\tfrac{1}{4}x^2)^2\),

\(16a^2 = (4a)^2\) и среднее слагаемое

\(2x^2a = 2\cdot\tfrac{1}{4}x^2\cdot4a\).

По формуле квадрата суммы получаем \(\bigl(\tfrac{1}{4}x^2 + 4a\bigr)^2\).

в) Замечаем \(\tfrac{1}{4}a^2 = (\tfrac{1}{2}a)^2\),

\(4b^4 = (2b^2)^2\) и среднее слагаемое

\(2ab^2 = 2\cdot\tfrac{1}{2}a\cdot2b^2\).

По формуле квадрата суммы получаем \(\bigl(\tfrac{1}{2}a + 2b^2\bigr)^2\).

г) Здесь \(a^2x^2 = (ax)^2\), \(b^2 = b^2\) и среднее слагаемое

\(-2abx = -2\cdot ax\cdot b\).

По формуле квадрата разности получаем \((ax - b)^2\).