Упражнение 838 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 170

а) \( 5(3a + 7)^2 =\)

\(=5\bigl(9a^2 + 42a + 49\bigr) =\)

\(=45a^2 + 210a + 245. \)

б) \( -6(4 - b)^2 = -6\bigl(16 - 8b + b^2\bigr) =\)

\(=-96 + 48b - 6b^2. \)

в) \( -3(2 - x)^2 - 10x =\)

\(=-3\bigl(x^2 - 4x + 4\bigr) - 10x =\)

\(=-3x^2 + 12x - 12 - 10x =\)

\(=-3x^2 + 2x - 12. \)

г) \( 12a^2 - 4(1 - 2a)^2 + 8 =\)

\(=12a^2 - 4\bigl(4a^2 - 4a + 1\bigr) + 8 = \)

\(=12a^2 - 16a^2 + 16a - 4 + 8 =\)

\(=-4a^2 + 16a + 4. \)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,

2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

3) При раскрытии формул, использовали свойство степени:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)

4) Умножение одночлена на многочлен:

\(a(b+c) = ab + ac\).

5) Вычитание одного многочлена из другого: у многочлена, перед которым стоит знак минус, при раскрытии скобок нужно поменять все знаки на противоположные.

6) Правило сложения подобных членов: складываем коэффициенты при одинаковых степенях переменных:

\(ax + bx=(a+b)x\).

а) Сначала применили формулу квадрата суммы:

\((3a+7)^2 = 9a^2 + 42a + 49\), затем умножили на 5 каждый член полученного многочлена.

б) Раскрыли квадрат разности:

\((4 - b)^2 = 16 - 8b + b^2\), затем умножили на \(-6\) каждый член полученного многочлена.

в) Вычислили квадрат:

\((2 - x)^2 = x^2 - 4x + 4\), умножили на \(-3\), затем учли вычитание \(10x\) и привели подобные члены \(12x - 10x\).

г) Раскрыли квадрат:

\((1 - 2a)^2 = 4a^2 - 4a + 1\), умножили на \(-4\), добавили \(12a^2\) и число \(8\), затем привели подобные члены при \(a^2\), \(a\).

а) \(b^2 + 20b + *=\)

\(=b^2 + 2\cdot{b}\cdot10 + *=\)

\(=b^2 + 2\cdot{b}\cdot10 + 10^2=\)

\(=(b + 10)^2.\)

\(* = 10^2 = 100\).

Ответ: \(* = 100\).

б) \(* + 14b + 49=\)

\(=* + 2\cdot{b}\cdot7 + 7^2=\)

\(=b^2 + 2\cdot{b}\cdot7 + 7^2=\)

\(=(b + 7)^2. \)

\(* = b^2\).

Ответ: \(* = b^2\).

в) \(16x^2 + 24xy + *=\)

\(=(4x)^2 + 2\cdot{4x}\cdot{3y} + *=\)

\(=(4x)^2 + 2\cdot{4x}\cdot{3y} + (3y)^2=\)

\(=(4x + 3y)^2.\)

\(* =(3y)^2 = 9y^2\).

Ответ: \(* = 9y^2\).

г) \(* - 42pq + 49q^2=\)

\(=* - 2\cdot{3p}\cdot{7q} + 49q^2=\)

\(=(3p)^2 - 2\cdot{3p}\cdot{7q} + 49q^2=\)

\(=(3p - 7q)^2\)

\(* = (3p)^2= 9p^2\).

Ответ: \(* = 9p^2\).

Пояснения:

Использованные формулы:

Квадрат суммы:

\[ (u + v)^2 = u^2 + 2uv + v^2. \]

Квадрат разности:

\[ (u - v)^2 = u^2 - 2uv + v^2. \]

При этом учитывали свойство степени:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)

Пояснение к пункту а):

Среднее слагаемое \(20b\) должно быть равно \(2\cdot b\cdot 10\), значит, второй множитель \(v=10\). Тогда \(v^2=100\) и трёхчлен есть \((b+10)^2\).

Пояснение к пункту б):

Последнее слагаемое \(49\) есть квадрат \(7\), значит \(v=7\). Тогда первый одночлен \(u^2 = b^2\), и трёхчлен равен квадрату двучлена \((b+7)^2\).

Пояснение к пункту в):

Первое слагаемое \(16x^2\) — это \((4x)^2\), последнее \(9y^2\) — это \((3y)^2\). Среднее \(24xy = 2\cdot4x\cdot3y\), значит, двучлен \((4x+3y)\).

Пояснение к пункту г):

Последнее слагаемое \(49q^2\) — это \((7q)^2\). Среднее \(-42pq = -2\cdot3p\cdot7q\), значит, первый множитель \(3p\). Тогда квадрат разности \((3p-7q)^2\).