Упражнение 837 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 170

а) \( 7(4a - 1)^2 = 7\bigl(16a^2 - 8a + 1\bigr) =\)

\(=112a^2 - 56a + 7. \)

б) \( -3(5y - x)^2 = \)

\(=-3\bigl(25y^2 - 10xy + x^2\bigr) =\)

\(=-75y^2 + 30xy - 3x^2. \)

в) \( -10\Bigl(\tfrac12 b + 2\Bigr)^2 =\)

\(=-10\bigl(\tfrac14 b^2 + 2b + 4\bigr) = \)

\(=-\tfrac{10}{4}b^2 - 20b - 40 =\)

\(=-\tfrac{5}{2}b^2 - 20b - 40 \)

\(=-2,5b^2 - 20b - 40. \)

г) \( 3(a - 1)^2 + 8a =\)

\(=3\bigl(a^2 - 2a + 1\bigr) + 8a =\)

\(=3a^2 - 6a + 3 + 8a =\)

\(=3a^2 + 2a + 3. \)

д) \( 9c^2 - 4 + 6(c - 2)^2 =\)

\(=9c^2 - 4 + 6\bigl(c^2 - 4c + 4\bigr) =\)

\(=9c^2 - 4 + 6c^2 - 24c + 24 =\)

\(=15c^2 - 24c + 20. \)

е) \( 10ab - 4(2a - b)^2 + 6b^2 =\)

\(=10ab - 4\bigl(4a^2 - 4ab + b^2\bigr) + 6b^2 =\)

\(=10ab - 16a^2 + 16ab - 4b^2 + 6b^2 =\)

\(=-16a^2 + 26ab + 2b^2. \)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,

2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

3) При раскрытии формул, использовали свойство степени:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)

4) Умножение одночлена на многочлен:

\(a(b+c) = ab + ac\).

5) Вычитание одного многочлена из другого: у многочлена, перед которым стоит знак минус, при раскрытии скобок нужно поменять все знаки на противоположные.

6) Правило сложения подобных членов: складываем коэффициенты при одинаковых степенях переменных:

\(ax + bx=(a+b)x\).

а) Сначала применили формулу квадрата разности:

\((4a-1)^2 = 16a^2 -8a +1\), затем умножили на 7 и получили многочлен

\(112a^2 -56a +7\).

б) Раскрыли квадрат

\((5y - x)^2 = 25y^2 -10xy + x^2\), затем умножили на \(-3\) и получили многочлен:

\(-75y^2 +30xy -3x^2\).

в) Вычислили квадрат суммы:

\(\bigl(\tfrac12b+2\bigr)^2 = \tfrac14b^2 +2b +4\), затем умножили на \(-10\), получили многочлен \(-2,5b^2 - 20b - 40\).

г) Раскрыли квадрат:

\((a-1)^2 = a^2 -2a +1\), умножили на 3 и добавили \(8a\). Объединили подобные члены: \(-6a +8a = 2a\), получили многочлен:

\(3a^2 + 2a + 3. \)

д) Оставили \(9c^2 -4\), раскрыли квадрат \((c-2)^2 = c^2 -4c +4\), умножили на 6, затем сложили подобные: \(9c^2+6c^2=15c^2\) и числа \(-4+24=20\), получили многочлен: \(15c^2 - 24c + 20. \)

е) Раскрыли квадрат:

\((2a-b)^2=4a^2-4ab+b^2\), умножили на \(-4\), затем сложили с \(10ab\) и \(6b^2\). Сложили подобные:

\(10ab+16ab=26ab\),

\(-4b^2+6b^2=2b^2\), получили многочлен:

\(-16a^2 + 26ab + 2b^2. \)

а) \(( * + 2a)^2 = * + 12ab + *\)

\(12ab = 2\cdot{3b}\cdot{2a}\)

\((3b + 2a)^2 = (3b)^2 + 2\cdot{3b}\cdot{2a} + (2a)^2\)

\(( {\color{blue}{3b}} + 2a)^2 = {\color{blue}{9b^2}} +12ab + {\color{blue}{4a^2}}\)

Ответ: вместо «*»: слева \(3b\), справа \(9b^2\) и \(4a^2\).

б) \(( 3x + * )^2 = * + * + 49y^2\).

\(49y^2 = (7y)^2\)

\((3x + {\color{blue}{7y}})^2 = {\color{blue}{9x^2}} + {\color{blue}{42xy}} + 49y^2\)

Ответ: вместо «*»: слева \(7y\), справа \(9x^2\) и \(42xy\).

Пояснения:

Использованные формулы:

Квадрат суммы двух выражений:

\( (u + v)^2 = u^2 + 2uv + v^2. \)

При этом учитывали свойство степени:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)

Пояснение к пункту а):

Надо найти \(u\) так, чтобы при \(v = 2a\) получалось среднее слагаемое \(12ab\). По формуле \(2uv = 12ab\), значит

\(u = 3b\). Тогда \( u^2 = (3b)^2 = 9b^2,\)

\( v^2 = (2a)^2 = 4a^2. \)

И трёхчлен есть

\((3b+2a)^2 = 9b^2 + 12ab + 4a^2\).

Пояснение к пункту б):

Надо найти \(v\) при \(u = 3x\), чтобы

\(v^2 = 49y^2\). Значит \(v = 7y\). Тогда

\( u^2 = (3x)^2 = 9x^2, \)

\(2uv = 2\cdot3x\cdot7y = 42xy. \)

И трёхчлен есть

\((3x+7y)^2 = 9x^2 + 42xy + 49y^2\).