Упражнение 749 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 157

\(6 = 2 \cdot 3\)

Делимость на 2:

Если \(n\) чётное число, то в произведении \(n(2n+1)(7n+1)\) множитель \(n\) делится на 2 и все произведение делится на 2.

Если \(n\) нечётное число, то \(7n\) нечётное число, а значит \(7n+1\) — чётное число, тогда в произведении

\(n(2n+1)(7n+1)\) множитель

\((7n+1)\) делится на 2 и все произведение делится на 2.

Делимость на 3:

Если \(n = 3k\), то \(n\) делится на 3, тогда и произведение \(n(2n+1)(7n+1)\) делится на 3.

Если \(n = 3k + 1\), то

\( 2n + 1 = 2(3k+1) + 1 =\)

\(=6k + 2 + 1 = 6k + 3 =\)

\(=3(2k + 1) \) - делится на 3, значит, множитель \(2n+1\) делится на 3, тогда и произведение \(n(2n+1)(7n+1)\) делится на 3.

и множитель \(2n+1\) делится на 3.

Если \(n = 3k + 2\), то

\( 7n + 1 = 7(3k+2) + 1 =\)

\(=21k + 14 + 1 = 21k + 15 =\)

\(=3(7k + 5), \) - делится на 3, значит, множитель \(7n+1\) делится на 3, тогда и произведение \(n(2n+1)(7n+1)\) делится на 3.

Произведение \(n(2n+1)(7n+1)\) делится и на 2, и на 3 при любом натуральном \(n\), значит, делится и на 6.

Пояснения:

1. Делимость на составные числа. Чтобы доказать делимость на 6, удобно разделить задачу на проверку делимости на 2 и на 3, т.к. \(6 = 2 \cdot 3\).

2. Делимость на 2 (чётность). Произведение целых чисел чётно, если хотя бы один множитель чётен. Мы показали это для случая чётного \(n\) и для нечётного \(n\).

3. Делимость на 3. Любое натуральное \(n\) можно представить в одной из форм \(3k\), \(3k+1\) или \(3k+2\), так как при делении на 3 возможны остатки 0, 1 или 2. Для каждого случая мы явно выписали один из множителей, делящийся на 3.

4. Итог. Наличие в произведении множителя, делящегося на 2, и множителя, делящегося на 3, гарантирует делимость на 6.

Пусть \(x\) - искомое трехзначное число. Тогда новое четырёхзначное число равно \(5000 + x\). Известно, что из числа  \(5000 + x\) вычли \(3032\) и получилось \(9x\). Составим уравнение.

\((5000 + x) - 3032 = 9x\) 

\(5000 + x - 3032 = 9x\)

\(1968 = 9x-x\)

\(1968 = 8x\)

\(x = \dfrac{1968}{8}\)

\(x = 246\).

Ответ: \(x = 246\).

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1. Приписать слева цифру 5 к трёхзначному числу означает добавить 5000 к его значению, т.е. получить \(5000 + x\).

2. Приведение подобных членов:

\(ka + la = (k + l)a\).

3. Перенос членов через знак «=»: если

\(A + C= B + D\), то

\(A - D = B - C\).

4. Решение линейного уравнения:

из \(ax = b\) следует \(x = \tfrac{b}{a}\) при \(a\neq0\).

Комментарии к шагам:

1. Ввели переменную \(x\) для обозначения задуманного трёхзначного числа.

2. Учли, что приписанная слева 5 даёт четырёхзначное число \(5000 + x\).

3. Составили уравнение по условию:

разность \((5000 + x) - 3032\) равна \(9x\).

4. Привели подобные члены и решили линейное уравнение: \(1968 = 8x\), откуда \(x = 246\).